洛谷P1062 数列 [2017年6月计划 数论03]

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P1062 数列

题目描述

给定一个正整数k(3≤k≤15),把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列,例如,当k=3时,这个序列是:

1,3,4,9,10,12,13,…

(该序列实际上就是:3^0,3^1,3^0+3^1,3^2,3^0+3^2,3^1+3^2,3^0+3^1+3^2,…)

请你求出这个序列的第N项的值(用10进制数表示)。

例如,对于k=3,N=100,正确答案应该是981。

输入输出格式

输入格式:

输入文件只有1行,为2个正整数,用一个空格隔开:

k N (k、N的含义与上述的问题描述一致,且3≤k≤15,10≤N≤1000)。

输出格式:

输出文件为计算结果,是一个正整数(在所有的测试数据中,结果均不超过2.1*109)。(整数前不要有空格和其他符号)。

输入输出样例

输入样例#1:
  3 100
输出样例#1:
981

说明

NOIP 2006 普及组 第四题

 

不难发现,相加有一定的规律。

 

k^0  ,  k^1,  k^1 + k^0,  k^2, k^2 + k^0, k^2 + k^1, k^2 + k^ 1 + k^0, k^3..

1           10        11         100        101            110              111                     1000

只需证k^1 + k^2 + ... + k^n < k^(n + 1),上述结论即可成立

只需证 (1 - k^n)/(1 - k) < k^n

只需证 k^n - 1 < k^(n + 1) - k^n

只需证2k^n  < k^(n + 1) + 1

只需证k^n < k^(n + 1)/2 + 1/2 ①

由于k >= 3 k^n < k^n * k/2   ①式显然成立

证毕

 

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 int k,n;
 3 long long ans;
 4 long long pow(int a,int b)
 5 {
 6     if(b == 0)return 1;
 7     long long r = 1,base = a;
 8     while(b)
 9     {
10         if(b & 1)r *= base;
11         base *= base;
12         b >>= 1;
13     }
14     return r;
15 }
16 int main()
17 {
18     scanf("%d %d", &k, &n);
19     for(int i = 1;n;i ++)
20     {
21         if(n & 1 == 1)ans += pow(k, i - 1);
22         n >>= 1;
23     }
24     printf("%lld", ans);
25     return 0;
26 }

以上是关于洛谷P1062 数列 [2017年6月计划 数论03]的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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