Fast Newman-FN算法以及模块度定义介绍
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Fast Newman-FN算法以及模块度定义介绍相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
一、社区的定义
Newman第一次提出模块度定义就是在2004年发表的这篇文章“fast algorithm for community structure in networks”,第一次用量化的公式来确定社区划分。
首先,我们来看Newman如何定义社区的:the vertices in networks are often found to cluster into tightly knit groups with a high density of within-group edges and a lower density of between -group edges。
用大白话说就是:社区内部的边尽可能地多,但是社区之间的边尽可能地少
(一些定义):i、j指社区i和社区j;
n是网络中节点的数量;
m是网络中边的数量。一条边上连接两个节点,和明显,2m即网络中所有节点度之和
二、如何量化到模快度?
我们先用eij表示社区i和社区j之间连接的边的数量比整个网络边的数量,eii表示社区i内部边的数量比整个网络边的数量,既然这样的话我们只要使∑ieii尽可能大就好了,但是问题又来了,最大肯定就是1咯,所有节点归为一个社区,那这样很明显就没有意义了。
于是他有提出,网络中连接两个同种类型的边(即社区内部的边的比例eii)减去在相同结构下任意连接这两个节点边的比例的期望,于是模块度登场
Q=∑i(eii-ai2)
其中,ai=∑jeij 表示与社区i中节点相连的边占所有边的比例。如果社团内部边的比例不大于社团内部边随机连接的期望,那么Q=0,最大时为1。一般来说,Q值最大对应的社团结构就是网络中的社团结构
三、如何变成算法可操作性?
意思来了,我们只要优化Q就好了,但是如何把n个节点划分多少个社区?每个社区多少个节点?作者指出有2n-1种可能,这样的话根本无法将Q推广在高于20节点以上的网络?为了减少时间复杂度,作者提出一种贪婪策略
FN:(1)首先将网络中每个节点自定义成一个社区
(2)计算出两两社区结合是Q的值,找到Q增加最大的或者减少最少的合并方式进行社区合并
(3)直到所有社区合并成一个大社区时停止,找出合并过程中最大的Q是的社区划分结果
这个时候,Newman有注意到,当两个社区合并时,模块度的增量detaQ=(eji+eij-2ai*aj)=2(eij-2ai*aj)
四、代码来了
clear all close all clc % load preprocess.mat % E=e; load(‘dolphin.mat‘); E=A; % E(find(E>0))=1;%建立邻接矩阵 tic; e=E; e(e==1)=1/sum(E(:)); a=sum(e); n=size(A,2); b=[1:n]; b=num2cell(b);%用来存储社团元素的变量 c={}; k=1; while length(e)>1 lg=length(e); detaQ=-(10^9)*ones(n-k+1);%△Q for i=1:lg-1 for j=i+1:lg if e(i,j)~=0 detaQ(i,j)=2*(e(i,j)-a(i)*a(j));%计算△Q end end end if sum(detaQ+(10^9))==0 break end % Q(k)=max(detaQ(:));%寻找△Q的最大值,并把它存储进Q(k)矩阵 %-----------------------------寻找最大△Q对应的两个社团,并将其合并,并改变e矩阵 [I,J]=find(detaQ==max(detaQ(:))); for ii=1:length(I) e(J(ii),:)=e(I(ii),:)+e(J(ii),:); e(I(ii),:)=0; e(:,J(ii))=e(:,I(ii))+e(:,J(ii)); e(:,I(ii))=0; % e(I,I)=e(I,I)/2; %—————————记录△Q最大所对应的社团以及各社团中的元素 b{J(ii)}=[b{I(ii)} b{J(ii)}]; b{I(ii)}=0; end e(I,:)=[]; e(:,I)=[]; b(I)=[]; c(k,:)=num2cell(zeros(1,n)); c(k,1:length(b))=b; for kk=1:length(b) c2=cell2mat(c(k,kk)); c2(c2==0)=[]; c{k,kk}=c2; c2=[]; end a=sum(e); k=k+1; tmp=0; for jj=1:length(e) tmp=tmp+(e(jj,jj)-a(jj)*a(jj)); end Q(k)=tmp; end max_k=find(Q==max(Q(:)))-1; ll=0; for i=1:length(c(max_k,:)) if sum(c{max_k,i})~=0 ll=ll+1; c{max_k,i}=c{max_k,i}(c{max_k,i}~=0); end end c_newman=c(max_k,1:ll); label=zeros(n,1); for i=1:ll label(c{max_k,i}‘)=i; end
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