超级立方体小记

Posted 2020-09-22 zsychanpin

在多指令流多数据流MIMD里面实用到基于超立方体互联的网络结构，

用《图论导引》里面简单的描写叙述。就是处理器能通信，当且仅当他们的邻接（k元祖代表了处理器的地址）

一个 k 维立方体（或者超立方体Qk）是一种简单图，每一个顶点{0,1}标记的k元祖来表示。

相邻的顶点之间的 k 元祖仅仅有一个位置上数字不同，Qk 的生成立方体 Qj 和 Qj 本身同构。

这是Q3的表示：

细致观察会发现。Qk图里面的每条边链接的两个顶点的k元祖里的1的个数一端是奇数，还有一端为偶数，

因此包括奇数个数 1 的点能够当做一个集合，偶数的也能够，所以 Qk 为二分图。

显而易见 Qk 有 2^k个顶点，每一个顶点度为 k ，那么 Qk 里面会有 k* (2^k) / 2 条边。

Qk 里面有多少个 Qj 呢？

那么究竟什么是（ 1,1,0,0,1,0,.............,1 ） 呢？

想想也就是 k 维世界的坐标，那么隔绝掉一维或者几个维度，剩下的就是那个世界里的空间变化情况。

能够这样想，k 维度空间的世界里面固定 j 维，如果在这样 j 维的世界里面仅仅生产拥有 j 个维度的事物，

也就是元祖里面还剩下 k - j 个元素没有被固定，每一个 j 维世界都有 2^( k - j ) 个事物（ Qj ），

那么 Qk 里面就一共同拥有 C( k，j ) * 2^( k - j ) 个 Qj。

（或者反过来说。假设想要得到一个Qj，仅仅须要固定 k - j 个标识，而将剩下的 j 位。取遍 2^j，

得到2^j个顶点，和它们间相连的边。就是一个Qj）

这是一个Q4图，Q4能够看做由一个Q3沿着某个维度移动一定距离。

然后将点对链接在一起得到的。

里面有8 == C(4,3) * 2^1 个Q3（绿）。

这也是Q4的还有一种样子，假设你能想象出其由8个立方体叠在一起的话........

人的大脑里面并没有“厚度”的概念，所以仅仅能通过数学的方式来理解高维空间的物体。

应用：

1.E-立方体路由算法

比方给定立方体中的起始点 s 和终止点 d，问从 s 到 d 的最短路径

步骤：

1.计算方向位，r[i] = s[i-1] xor d[i-1]。当中i = 1，，，n

令 i = 1， v = s

2.若r[i] == 1。则从当前节点寻找下一节点 v xor 2^(i-1)

若r[i] == 0，跳过

3.i = i + 1，若 i <= n， 转2，否则退出

如果这里 s = 0110。d = 1101

step1.计算方位，r = s xor d = 1011

step2.由于 r[1] == 1，v = 0110 xor 0001 = 0111, i = 1

step3.由于 r[2] == 1，v = 0111 xor 0010 = 0101, i = 2

step4.由于 r[3] == 0。跳过 v = 0101， i = 3

step5.由于 r[4] == 1，v = 0101 xor 1000 = 1101 = d, i = 4, end

路径为 0110 -> 0111 -> 0101 -> 1101

2.随意子连通 N 维立方体路由算法

先睡了