可持久化Treap(fhq Treap，非旋转式Treap)学习(未完待续)

Posted 2020-09-21 安

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了可持久化Treap(fhq Treap，非旋转式Treap)学习(未完待续)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

简介：

Treap，一种表现优异的BST

优势：

其较于AVL、红黑树实现简单，浅显易懂

较于Splay常数小，通常用于树套BST表现远远优于Splay

或许有人想说SBT，SBT我没有实现过，据说比较快

但是SBT、Splay以及旋转版Treap等BST都不可以比较方便地实现‘可持久化操作

Treap=Tree+Heap

Treap是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树

Treap有两个关键字，在这里定义为：

1.key，满足二叉搜索树性质，即中序遍历按照key值有序

2.fix，满足堆性质，即对于任何一颗以x为根的子树，x的fix值为该子树的最值，方便后文叙述，定义为最小值

为了满足期望，fix值是一个随机的权值，用来保证树高期望为logn

剩下的key值则是用来维护我们想要维护的一个权值，此为一个二叉搜索树的基本要素

支持操作：

基本操作：

1.Build【构造Treap】【O(n)】

2.Merge【合并】【O(logn)】

3.Split【拆分】【O(logn)】

4.Newnode【新建节点】【O(1)】

可支持操作：

1.Insert【Newnode+Merge】【O(logn)】

2.Delete【Split+Split+Merge】【O(logn)】

3.Find_kth【Split+Split】【O(logn)】

4.Query【Split+Split】【O(logn)】

5.Cover【Split+Split+Merge】【O(logn)】

and more....

先说建树，Treap属于笛卡尔树，所以建树方式同笛卡尔树

用栈维护一个fix值递增的序列即可。

代码

int build(int *data,int n)
{
    int x,last=0;static int sta[maxn],top;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x=new_node(data[i]),last=0;
        while(top&&fix[sta[top]]>fix[x]) update(sta[top]),last=sta[top],sta[top--]=0;
        if(top) ch[sta[top]][1]=x;
        ch[x][0]=last;sta[++top]=x;
    }
    while(top) update(sta[top--]);
    return sta[1];
}

只需要两个基础操作，就可以达到splay的所有功能

1： $s p l i t$

$s p l i t$

对于我们遍历到每一个点，假如它的权值小于k，那么它的所有左子树，都要分到左边的树里，然后遍历它的右儿子。假如大于k，把它的所有右子树分到右边的树里，遍历左儿子。

因为它的最多操作次数就是一直分到底，效率就是 $O (\log n)$

$O (\log n)$

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
    if(!now) x=y=0;
    else 
    {
        if(val[now]<=k) x=now,split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
        else y=now,split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
        update(now);
    }
}

2： $m e r g e$

这个就是把两个Treap合成一个，保证第一个的权值小于第二个。

因为第一个Treap的权值都比较小，我们比较一下它的fix(附加权值)，假如第一个的fix小，我们就可以直接保留它的所有左子树，接着把第一个Treap变成它的右儿子。反之，我们可以保留第二棵的所有右子树，指针指向左儿子。

你可以把这个过程形象的理解为在第一个Treap的左子树上插入第二个树，也可以理解为在第二个树的左子树上插入第一棵树。因为第一棵树都满足小于第二个树，所以就变成了比较fix来确定树的形态。

也就是说，我们其实是遍历了第一个trep的根->最大节点，第二个Treap的根->最小节点，也就是 $O (\log n)$

int merge(int A,int B)
{
    if(!A||!B) return  A+B;
    if(fix[A]<fix[B]){ch[A][1]=merge(ch[A][1],B); update(A); return A;}
    else {ch[B][0]=merge(A,ch[B][0]); update(B); return B;} 
}

下面我们就可以通过这两个基本的东西实现各种各样的操作了。

一：基本操作

$i n s e r t$

插入一个权值为v的点，把树按照v的权值split成两个，再按照顺序merge回去。

$d e l$

删除权值为v的点，把树按照v分成两个a,b,再把a按照v-1分成c,d。把c的两个子儿子merge起来，再merge(merge(c,d),b)

(因为把c的两个儿子merge起来之后，如果权值为v的节点有一个，就已经把他删除了,因为merge后c=0;若有多个就删除了一个)

$p r e c u r s o r$

找前驱的话把root按v-1 split成x,y，在x里面找最大值

$s u c c e s s o r$

找后继的话把root按v split成x,y，在y里找最小值

$r a n k$

把root按v-1 split成x,y，排名是x的siz

代码:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3369 普通平衡树

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>

#define maxn 500001

using namespace std;
int size[maxn],ch[maxn][2],fix[maxn],val[maxn];
int T,cnt,n,m,x,y,z,p,a,root,com;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>\'9\'||c<\'0\'){if(c==\'-\')f=-1;c=getchar();}
    while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){x=x*10+c-\'0\';c=getchar();}
    return x*f;
}

inline void update(int x)
{
    size[x]=1+size[ch[x][0]]+size[ch[x][1]];
}
inline int new_node(int x)
{
    size[++cnt]=1;
    val[cnt]=x;
    fix[cnt]=rand();
    return cnt;
}

int merge(int A,int B)
{
    if(!A||!B) return  A+B;
    if(fix[A]<fix[B]){ch[A][1]=merge(ch[A][1],B); update(A); return A;}
    else {ch[B][0]=merge(A,ch[B][0]); update(B); return B;} 
}

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
    if(!now) x=y=0;
    else 
    {
        if(val[now]<=k) x=now,split(ch[now][1],k,ch[now][1],y);
        else y=now,split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
        update(now);
    }
}

int kth(int now,int k)
{
    while(1)
    {
        if(k<=size[ch[now][0]]) now=ch[now][0];
        else if(k==size[ch[now][0]]+1) return now;
        else k-=size[ch[now][0]]+1,now=ch[now][1];
    }
}

int main()
{
    srand((unsigned)time(NULL));
    T=read();
    while(T--)
    {
        p=read();a=read();
        if(p==1)
        {
            split(root,a,x,y);
            root=merge(merge(x,new_node(a)),y);
        }
        else if(p==2)
        {
            split(root,a,x,z);
            split(x,a-1,x,y);
            y=merge(ch[y][0],ch[y][1]);
            root=merge(merge(x,y),z);
        }
        else if(p==3)
        {
            split(root,a-1,x,y);
            printf("%d\\n",size[x]+1);
            root=merge(x,y);
        }
        else if(p==4) printf("%d\\n",val[kth(root,a)]);
        else if(p==5)
        {
            split(root,a-1,x,y);
            printf("%d\\n",val[kth(x,size[x])]);
            root=merge(x,y);
        }
        else
        {
            split(root,a,x,y);
            printf("%d\\n",val[kth(y,1)]);
            root=merge(x,y);
        }
    }
    return 0;
}

二：区间操作

区间提取

分为两次split操作第一次split(root,pos-1,x1,x2);第二次split(x2,len,y1,y2) y1就是提取出的区间注意split是按照编号split而不是权值

因此就可以进行一系列的区间操作，如区间改值，区间删除，区间插入等

bzoj1500 维修数列 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1500

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>

#define maxn 500010
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int siz[maxn],ch[maxn][2],fix[maxn],val[maxn],a[maxn],f[maxn];
int tmx[maxn],lmx[maxn],rmx[maxn],sum[maxn],rev[maxn],cov[maxn];
int T,cnt,n,m,b,root,com;
queue<int>trashcan;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>\'9\'||c<\'0\'){if(c==\'-\')f=-1;c=getchar();}
    while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){x=x*10+c-\'0\';c=getchar();}
    return x*f;
}

long int random()
{
    static int seed=703;
    return seed=int(seed*48271LL%2147483647);
}

inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void swap(int &a,int &b){a^=b;b^=a;a^=b;}

int new_node(int v)
{
    int x;
    if(!trashcan.empty()) x=trashcan.front(),trashcan.pop();
    else x=++cnt;
    ch[x][0]=ch[x][1]=rev[x]=0;
    cov[x]=inf;fix[x]=random();siz[x]=1;
    val[x]=sum[x]=tmx[x]=v;
    lmx[x]=rmx[x]=max(v,0);
    return x;
}


void update(int x)
{
    if(ch[x][0]&&ch[x][1])
    {
        siz[x]=1+siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]];
        sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+val[x];
        tmx[x]=max(tmx[ch[x][0]],tmx[ch[x][1]]);
        tmx[x]=max(tmx[x],rmx[ch[x][0]]+val[x]+lmx[ch[x][1]]);
        lmx[x]=max(lmx[ch[x][0]],sum[ch[x][0]]+val[x]+lmx[ch[x][1]]);
        rmx[x]=max(rmx[ch[x][1]],sum[ch[x][1]]+val[x]+rmx[ch[x][0]]);
    }
    else if(ch[x][0])
    {
        siz[x]=siz[ch[x][0]]+1;
        sum[x]=sum[ch[x][0]]+val[x];
        tmx[x]=max(tmx[ch[x][0]],rmx[ch[x][0]]+val[x]);
        lmx[x]=max(lmx[ch[x][0]],sum[ch[x][0]]+val[x]);
        lmx[x]=max(0,lmx[x]);
        rmx[x]=max(0,val[x]+rmx[ch[x][0]]);
    }
    else if(ch[x][1])
    {
        siz[x]=siz[ch[x][1]]+1;
        sum[x]=sum[ch[x][1]]+val[x];
        tmx[x]=max(tmx[ch[x][1]],lmx[ch[x][1]]+val[x]);
        rmx[x]=max(rmx[ch[x][1]],sum[ch[x][1]]+val[x]);
        rmx[x]=max(0,rmx[x]);
        lmx[x]=max(0,lmx[ch[x][1]]+val[x]);
    }
    else
    {
       siz[x]=1,sum[x]=tmx[x]=val[x];
       lmx[x]=rmx[x]=max(val[x],0);
    } 
}

void reverse(int x)
{
    swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    swap(lmx[x],rmx[x]);
    rev[x]^=1;
}

void cover(int x,int v)
{
    val[x]=v;sum[x]=siz[x]*v;
    lmx[x]=rmx[x]=max(sum[x],0);
    tmx[x]=max(sum[x],val[x]);
    cov[x]=v;
}

void pushdown(int x)
{
    if(rev[x])
    {
        if(ch[x][0]) reverse(ch[x][0]);
        if(ch[x][1]) reverse(ch[x][1]);
    }
    if(cov[x]!=inf)
    {
        if(ch[x][0]) cover(ch[x][0],cov[x]);
        if(ch[x][1]) cover(ch[x][1],cov[x]);
    }
    rev[x]=0;cov[x]=inf;
}

int build(int *data,int n)
{
    int x,last=0;static int sta[maxn],top;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x=new_node(data[i]),last=0;
        while(top&&fix[sta[top]]>fix[x]) update(sta[top]),last=sta[top],sta[top--]=0;
        if(top) ch[sta[top]][1]=x;
        ch[x][0]=last;sta[++top]=x;
    }
    while(top) update(sta[top--]);
    return sta[1];
}

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
    if(!now) x=y=0;
    else
    {
        pushdown(now);
        if(siz[ch[now][0]]>=k) y=now,split(ch[now][0],k,x,ch[now][0]);
        else x=now,split(ch[now][1],k-siz[ch[now][0]]-1,ch[now][1],y);
        update(now);
    }
}

int merge(int A,int B)
{
    if(A) pushdown(A); if(B) pushdown(B);
    if(A*B==0) return A+B;
    if(fix[A]<fix[B]){ch[A][1]=merge(ch[A][1],B);update(A);return A;}
    else{ch[B][0]=merge(A,ch[B][0]);update(B);return B;} 
}

void trash(int x)
{
    if(!x) return;
    trashcan.push(x);
    trash(ch[x][0]); trash(ch[x][1]);
}

void insert()
{
    int pos=read(),len=read(),x,y; static int datas[maxn];
    for(int i=1;i<=len;i++) datas[i]=read();
    int rt=build(datas,len);
    split(root,pos,x,y);
    root=merge(merge(x,rt),y);
}

void del()
{
    int pos=read(),len=read(),x1,x2,y1,y2;
    split(root,pos-1,x1,x2);
    split(x2,len,y1,y2);
    root=merge(x1,y2); trash(y1);
}

void covers()
{
    int pos=read(),len=read(),v=read(),x1,x2,y1,y2;
    split(root,pos-1,x1,x2);
    split(x2,len,y1,y2);
    cover(y1,v);
    root=merge(x1,merge(y1,y2));
}

void reverses()
{
    int pos=read(),len=read(),x1,x2,y1,y2;
    split(root,pos-1,x1,x2);
    split(x2,len,y1,y2); reverse(y1);
    root=merge(x1,merge(y1,y2));
}

void sums()
{
    int pos=read(),len=read(),x1,x2,y1,y2;
    split(root,pos-1,x1,x2);
    split(x2,len,y1,y2);
    printf("%d\\n",sum[y1]);
    root=merge(x1,merge(y1,y2));
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
      a[i]=read();
    root=build(a,n);
    static char s[20];
    while(m--)
    {
        scanf("%s",s);
        if(s[0]==\'I\') insert();
        else if(s[0]==\'D\') del();
        else if(s[0]==\'M\'&&s[2]==\'K\') covers();
        else if(s[0]==\'R\') reverses();
        else if(s[0]==\'G\') sums();
        else printf("%d\\n",tmx[root]);
    }
    return 0;
}