支持向量机原理

Posted 2020-09-21 叶常绿

支持向量机概念

线性分类器

首先介绍一下线性分类器的概念，C1和C2是要区分的两个类别，在二维平面中它们的样本如上图所示。中间的直线就是一个分类函数，它可以将两类样本完全分开。一般的，如果一个线性函数能够将样本完全正确的分开，就称这些数据是线性可分的，否则称为非线性可分的。

线性函数是关于自变量的一次函数，在一维空间里就是一个点，在二维空间里就是一条直线，三维空间里就是一个平面，如果不关注空间的维数，线性函数还有一个统一的名称——超平面（Hyper Plane），记作：

g(x) = wx + b

定义分类函数f(x)，若点(x,y)在分类平面上方，即y > wx+b 则记f(x)=1 ; 若y < wx + b 记 f(x) = -1。（不分为0-1是因为数学处理方便的需要）

 

一般而言，一个点距离超平面的远近可以表示分类的可信程度。以样本点距分类平面间隔最大为目标的的线性分类器称作最大间隔分类器(Maxmium Margin Classifier)。

支持向量机(Support Vector Machine, SVM)

 

如图，在最优分类平面上下作两个平行等间距的超平面AB，使得超平面A或B过样本点且AB之间没有样本点。

可以直观的看出在A和B上的样本"支撑"起了AB的间隔，也就是分类的可信程度。因为样本点由向量表示，把这些AB上样本点对应的向量称作支持向量(Support Vector)。

引出样本(x,y) 到分类间隔距离的函数间隔(functional margin):

 

在此基础上定义几何间隔(geometrical margin):

 

其中，|| w|| 代表P范数，不关心具体的P值。几何间隔实际上是归一化之后的点到分类平面的距离。

这样处理的优势在于对于坐标系的等比例放缩会使函数间隔变化而不会使几何间隔变化。

定义样本组中所有样本点到分类平面几何间隔中的最小值为样本组到平面的间隔：

 

为使分类的把握最大，定义目标函数：

 

通过求解这个优化问题，可以找到最优的分类平面。

** 凸集 ** 是指一个点的集合，其中任取两个点连一条直线，这条线上的点仍然在这个集合内部。因为求解最优分类平面的优化问题可行域为一个凸集，所以这个问题为一个** 凸优化问题 **。

不等式约束下的拉格朗日乘数法

先提一下拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是在在φ(x,y,...)=0的条件下求f(x,y,...)极值的数学方法。

构造函数：

 

其中，λ为常数称为拉格朗日乘子。方程组：

 

的解是f(x,y,...)有极值的必要条件。

下面将拉格朗日乘数法由等式约束推广到不等式约束：

为了便于求解，通过等比例放缩将函数间隔变为1，那么原目标函数变为：

(1)

为保证训练数据分类正确且支持向量函数间隔为1，引入约束条件：

(2)

原优化问题变为(2)约束下求(1)的最优解问题。构造函数：

 

令：

 

此目标函数表示通过调整a使得F有极大值。

在条件(2)不满足时，一定可以通过令a为正无穷使得C(w)达到正无穷。

这样原优化问题转化为：

 

放松约束

训练数据集中少量的样本点可能使得线性可分问题变为线性不可分问题， 很可能导致问题解决难度急剧增大。这些异常的样本点可能很是噪声，为此放松模型的约束从而使得模型允许少数异常样本的存在。

原模型：

 

 

引入松弛变量和惩罚函数，改进模型：

 

 

直观地说，松弛变量表示允许异常样本点偏离的距离，惩罚因子(cost)表示所能容忍的异常样本点造成的损失。

SMO优化算法

SMO(Sequential Minimal Optimization)优化算法是求解SVM的重要工具

因为存在约束：

 

使得当其它变量固定时也被固定，所以一次选取两个参数进行优化。

SMO在每次循环中选择两个a进行优化，SMO算法的流程大致如下：

创建一个a向量并初始化为0向量
进行指定次数的迭代 {
    令a[i]遍历数据集中的向量 {
        使用KKT条件判断a[i]是否可以优化 {
        随机选择另外一个向量a[j]
            同时优化两个向量(a[i]+a[j]不变)
            若a[i],a[j]均不能被优化则跳出内循环
        }
    }
若所有变量都没有优化则增加迭代次数

这个算法...相...当...难...实...现，这里引用一下* Machine Learning in Action * 中的示例：

随机选取a[j]以及保证a取值范围的工具函数：

def RandJ(i,m):
    j=i 
    while (j==i):
        j = int(random.uniform(0,m))
    return j

def adjustAlpha(alpha, upper, lower):
    if alpha > upper: 
        alpha = upper
    if lower > alpha:
        alpha = lower
    return alpha

简单SMO实现：

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    dataMatrix = mat(dataMatIn); labelMat = mat(classLabels).transpose()
    b = 0; m,n = shape(dataMatrix)
    alphas = mat(zeros((m,1)))
    iter = 0
    while (iter < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            fXi = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])
            #if checks if an example violates KKT conditions
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                # random select a[j]
                j = RandJ(i,m)
                fXj = float(multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                # maintain a between 0 and C
                alphaIold = alphas[i].copy(); 
                alphaJold = alphas[j].copy();
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H: print "L==H"; continue
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: print "eta>=0"; continue
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
                alphas[j] = adjustAlpha(alphas[j],H,L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): 
                    print "j not moving enough";
                    continue
                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])
                #update i by the same amount as j, the update is in the oppostie direction
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                alphaPairsChanged += 1
                print "iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
        if (alphaPairsChanged == 0): iter += 1
        else: iter = 0
        print "iteration number: %d" % iter
    return b,alphas 

函数的5个输入分别为：数据集，标签，边界C,容错和最大迭代次数。

上述实现采用随机方法选择优化对象，SMO算法可以使用启发式算法进行选择对象以提升效率。

因为实现过于复杂(其实是草民也不懂)，故不再说明，详见* 机器学习实战 *。

核函数与多核学习算法

通过升高维度解决线性不可分问题

 

例如在一维空间上的一段线段，我们无法在一维向量空间中找到分类平面将它与其它部分分开，那么称这类问题为线性不可分问题。

在二维空间中的二次曲线可以解决这个问题，但它不是线性分类函数。因此，定义向量：

 

并定义关于X 的线性函数y = w*x + b 作为分类函数。由此，一维空间的线性不可分问题转化为二维空间上的线性可分问题。

核函数

为便于描述，将x映射到向量X的映射称为H(x)。

通过各种变换得到的线性分类器：

 

由上式可知，对于新的样本点只需计算它与训练样本点(只需计算支持向量)的内积 即可。

将非线性问题映射到高维的方法会极大增大计算量，即** 维度灾难 **。

核函数是在低维下(通过x)计算高纬向量(由映射H得到的X)内积的方法。即核函数K(X,Y)满足：

 

核函数不是唯一的，只要对于给定的H(x) 满足上述定义式即可。Mercer定理指出核函数适应与某一映射H(x) 的条件。

示例：

 

令核函数：

 

则有：

 

常用的核函数有：

• 多项式核函数

 

• 高斯核函数(径向基核函数，Radial Basis Function，RBF)

 

通过调控参数σ，高斯核函数具有相当的灵活性，是使用最广泛的核函数之一。

核函数不是SVM的特有的，两者是相互正交的概念。核函数作为一种数学工具有着广泛的应用。

Mercer定理

对于m个训练样本，两两由核函数K求内积可得到m阶方阵，称为核矩阵(Kernel Matrix)。

因为：

 

所以方阵为对称方阵。 对于任意向量Z 有：

 

可知核矩阵K 为半正定矩阵。由Mercer定理可知，只要核矩阵为对称半正定矩阵那么对应的核函数是有效的。

多核学习算法(MKL)

在实际应用中特征向量可能是异构的，与其对应的最佳核函数未必相同。传统的单核SVM需要根据经验或实验来确定核函数。

多核学习算法(Multiple Kernel Learning，MKL)本质上是定义M个基核函数(Base Kernel Function)，并使用基函数的加权线性组合作为作为SVM的核函数。

通过优化算法自动学习权重，避免了人工选择核函数的弊端。

多核线性组合最经典的是simpleMKL，也常被作为MKL的具体实现，应用在了计算机各领域。

为了使MKL应用地更广后来又提出了GMKL(G即Generalized)，最优化方法采用是PGD（Projected Gradient Descend） 。

为了改进收敛效果，Vishwanathan又提出SPG-GMKL(Spectral Projected Gradient)，同时提出了多核的product组合。SPG-GMKL也被后来者视作state-of-art。MKL的经典实现有SimpleMKL，Shogun，SPG-GMKL，SMO-MKL。

SVM工具

经历手写SVM的惨烈教训(还是太年轻)之后，我决定使用工具箱/第三方库

Matlab

Matlab丰富的工具箱提供了各种方便。

Statistic Tools工具箱提供了svmtrain和svmclassify函数进行SVM分类。

traindata = [0 1; -1 0; 2 2; 3 3; -2 -1;-4.5 -4; 2 -1; -1 -3];
group = [1 1 -1 -1 1 1 -1 -1]‘;
testdata = [5 2;3 1;-4 -3];
svm_struct = svmtrain(traindata,group);    
Group = svmclassify(svm_struct,testdata);

svmtrain接受traindata和group两个参数，traindata以一行表示一个样本，group是与traindata中样本对应的分类结果，用1和-1表示。

svmtrain返回一个存储了训练好的svm所需的参数的结构体svm_struct。

svmclassify接受svm_struct和以一行表示一个样本的testdata，并以1和-1列向量的形式返回分类结果。