[luoguP2762] 太空飞行计划问题（最大权闭合图—最小割—最大流）

Posted 2020-09-20 蒟蒻zht的博客

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如果将每一个实验和其所对的仪器连一条有向边，那么原图就是一个dag图（有向无环）

每一个点都有一个点权，实验为收益（正数），仪器为花费（负数）。

那么接下来可以引出闭合图的概念了。

闭合图是原图的一个点集，其中这个点集中每个点的出边所指向的点依然在这个点集中，那么这个点集就是个闭合图。

比如论文中的这个图：

在图 3.1 中的网络有 9 个闭合图（含空集）：∅，{3,4,5}，{4,5}，{5}，{2,4,5}，{2,5}，{2,3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}

其中有大权和的闭合图是{3,4,5} ，权和为 4。

 

显然，我们目的就是求原图中的最大权闭合图。

 

为了求解这个，需要先把该图转化成网络。

增加一个超级原点s，s与每个实验连一条权值为实验利益的边。

增加一个超级汇点t，每个仪器与t连一条权值为仪器花费（正数）的边。

每个实验与它所依靠的仪器连一条权值为INF的边。

那么所有实验的费用（不是利益）减去最大流（最小割）即为最大的利益。

为什么呢？

根据论文中的证明，可以把最大权闭合图的问题转化为最小割。（然而看不懂）

下面转载一段比较简单的证明（然而还是看不懂）

 

首先引入结论，最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图，接下来我们来说明一些结论。

• 证明:最小割为简单割。

        引入一下简单割的概念：割集的每条边都与S或T关联。(请下面阅读时一定分清最小割与简单割，容易混淆)

        那么为什么最小割是简单割呢？因为除S和T之外的点间的边的容量是正无穷，最小割的容量不可能为正无穷。所以，得证。

• 证明网络中的简单割与原图中闭合图存在一一对应的关系。(即所有闭合图都是简单割，简单割也必定是一个闭合图)。

        证明闭合图是简单割：如果闭合图不是简单割(反证法)。那么说明有一条边是容量为正无穷的边，则说明闭合图中有一条出边的终点不在闭合图中，矛盾。

        证明简单割是闭合图：因为简单割不含正无穷的边，所以不含有连向另一个集合(除T)的点，所以其出边的终点都在简单割中，满足闭合图定义。得正。

• 证明最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图。

        首先我们记一个简单割的容量为C,且S所在集合为N，T所在集合为M。

        则C=M中所有权值为正的点的权值(即S与M中点相连的边的容量)+N中所有权值为负的点权值的绝对值(即N中点与T中点相连边的容量)。记(C=x1+y1);(很好理解，不理解画一个图或

想象一下就明白了)。

        我们记N这个闭合图的权值和为W。

        则W=N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点的权值的绝对值。记(W=x2-y2);

        则W+C=x1+y1+x2-y2。

        因为明显y1=y2，所以W+C=x1+x2;

        x1为M中所有权值为正的点的权值，x2为N中权值为正的点的权值。

        所以x1+x2=所有权值为正的点的权值之和(记为TOT).

        所以我们得到W+C=TOT.整理一下W=TOT-C.

        到这里我们就得到了闭合图的权值与简单割的容量的关系。

    　 因为TOT为定值，所以我们欲使W最大，即C最小，即此时这个简单割为最小割，此时闭合图为其源点S所在集合(除去S)。得正。

 

至此，我们就将最大权闭合图问题转化为了求最小割的问题。求最小割用最小割容量=最大流，即可将问题转化为求最大流的问题。

 

转载结束。

 

当然也可以这样理解，任意（非无穷大）割的值的意义都表示　实验集合中所不选的实验的利益 + 仪器集合中所选仪器的花费

那么　所有实验的利益 - 割 = 所有实验的利益 - （实验集合中所不选的实验的利益 + 仪器集合中所选仪器的花费) = 实验集合中所选的实验的利益 - 仪器集合中所选仪器的花费 = 总利益

要使得总利益最大，即使割最小，那么就可以通过求最小割来解决。

 

至于所选的实验和仪器，只需要找最后一次增广时能够到达的点（即集合S）即可。

 

——代码

  1 #include <queue>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <iostream>
  5 #define N 3010
  6 #define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
  7 
  8 int n, m, sum, cnt, s, t, ans;
  9 int len[N], num[N][N], dis[N], cur[N];
 10 int head[N], next[N << 1], to[N << 1], val[N << 1];
 11 
 12 inline int read()
 13 {
 14     int x = 0, f = 1;
 15     char ch = getchar();
 16     for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == \'-\') f = -1;
 17     for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - \'0\';
 18     return x * f;
 19 }
 20 
 21 inline void add(int x, int y, int z)
 22 {
 23     to[cnt] = y;
 24     val[cnt] = z;
 25     next[cnt] = head[x];
 26     head[x] = cnt++;
 27 }
 28 
 29 inline bool bfs()
 30 {
 31     std::queue <int> q;
 32     memset(dis, -1, sizeof(dis));
 33     dis[s] = 0;
 34     q.push(s);
 35     int i, u, v;
 36     while(!q.empty())
 37     {
 38         u = q.front();
 39         q.pop();
 40         for(i = head[u]; i ^ -1; i = next[i])
 41         {
 42             v = to[i];
 43             if(val[i] && dis[v] == -1)
 44             {
 45                 dis[v] = dis[u] + 1;
 46                 if(v == t) return 1;
 47                 q.push(v);
 48             }
 49         }
 50     }
 51     return 0;
 52 }
 53 
 54 inline int dfs(int u, int maxflow)
 55 {
 56     if(u == t) return maxflow;
 57     int i, v, d, ret = 0;
 58     for(i = cur[u]; i ^ -1; i = next[i])
 59     {
 60         v = to[i];
 61         if(val[i] && dis[v] == dis[u] + 1)
 62         {
 63             d = dfs(v, min(val[i], maxflow - ret));
 64             ret += d;
 65             val[i] -= d;
 66             val[i ^ 1] += d;
 67             cur[u] = i;
 68             if(ret == maxflow) return ret;
 69         }
 70     }
 71     return ret;
 72 }
 73 
 74 int main()
 75 {
 76     int i, j, x, l;
 77     std::string S;
 78     m = read();
 79     n = read();
 80     s = 0, t = n + m + 1;
 81     memset(head, -1, sizeof(head));
 82     for(i = 1; i <= m; i++)
 83     {
 84         x = read();
 85         add(s, i, x); 
 86         add(i, s, 0);
 87         sum += x;
 88         getline(std::cin, S);
 89         l = S.length();
 90         for(j = 0; j < l; j++)
 91         {
 92             x = 0;
 93             if(S[j] == \' \') continue;
 94             while(isdigit(S[j]))
 95             {
 96                 x = (x << 1) + (x << 3) + S[j] - \'0\';
 97                 j++;
 98             }
 99             num[i][++len[i]] = x;
100         }
101         for(j = 1; j <= len[i]; j++)
102             add(i, num[i][j] + m, 1e9), add(num[i][j] + m, i, 0);
103     }
104     for(i = 1; i <= n; i++)
105     {
106         x = read();
107         add(i + m, t, x);
108         add(t, i + m, 0);
109     }
110     while(bfs())
111     {
112         for(i = s; i <= t; i++) cur[i] = head[i];
113         ans += dfs(s, 1e9);
114     }
115     for(i = 1; i <= m; i++)
116         if(dis[i] ^ -1)
117             printf("%d ", i);
118     puts("");
119     for(i = 1; i <= n; i++)
120         if(dis[i + m] ^ -1)
121             printf("%d ", i);
122     puts("");
123     printf("%d\\n", sum - ans);
124     return 0;
125 }

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转载内容来自：http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/03/12/2391960.html

参考：胡伯涛 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》