素数线性筛优化

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了素数线性筛优化相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

大致思路:

  初始时,令2是素数,假设2之后奇数全部数都是素数(偶数不考虑会快一点点),从3开始每当找到一个素数时,显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数,把这些合数都筛掉,直到最后一个奇数超出范围,剩下的都是奇数都是素数。

  注:以下代码只为得到n以内的素数,所以执行后标记数组中的标记是不完整的,如函数1和2中的isPrime[4]=1显然是错的,不过这对prime数组没有影响。如果想使标记数组完整,请自行修改。

前提:

1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 
4 const int MN=1e+8;
5 bool isPrime[MN];//isPrime[i]:i是否素数 
6 int prime[MN/10];//prime[i]:第i个素数 

1.普通筛法:

 1 int makePrime1(int n)//求n以内的素数,返回得到的素数个数,下同 
 2 {
 3     memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
 4     memset(prime,0,sizeof(prime));
 5     //
6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(long long i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[i]) 11 { 12 prime[++cnt]=i; 13 for(long long j=i*i;j<=n;j+=i)//1此处初始值 j=i*i 比 j=i+i 要快;i和j用long long,因为i*i可能超出int范围 14 isPrime[j]=0; 15 } 16 } 17 return cnt; 18 }

2.线性筛法:每个合数只筛一次

 1 int makePrime2(int n)
 2 {
 3     memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
 4     memset(prime,0,sizeof(prime));
 5     //
 6     prime[1]=2;
 7     int cnt=1;
 8     for(int i=3;i<=n;i+=2)
 9     {
10         if(isPrime[i])
11             prime[++cnt]=i;
12         for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//关键 
13         {
14              isPrime[i*prime[j]]=0;
15              if(!(i%prime[j])) //(1)
16                  break;
17         }
18     }
19     return cnt;
20 }

  关键for循环的作用:

    1)i是素数:标记 i*prime[j](prime[j]为比i小的素数)为合数。

    2)i是合数:标记 i*prime[j](prime[j]为比 i 的最小素数因子更小或相等的素数)为合数,因为当prime[j]从2增加到 i 的最小素数因子(即(1)成立)时接下来就break了。

 

3.线性筛法空间优化(1):用每个bool/char isPrime[i]的每一位表示一个数(0,1,2......)的标记;

              则从0到n数 i 在数组中的标记为 isPrime[i/8]&(1<<(i%8))。逻辑同上,只需改3处,可节省大量空间

 1 int makePrime3(int n)
 2 {
 3     memset(isPrime,-1,sizeof(isPrime)); //(1)把每一位变成1 
 4     memset(prime,0,sizeof(prime));
 5     //
6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(int i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[i/8]&(1<<(i%8))) //(2)判断i是否为素数 11 prime[++cnt]=i; 12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++) 13 { 14 int t=i*prime[j]; 15 isPrime[t/8]&=(~(1<<(t%8))); //(3)把isPrime[t/8]的第t%8位变为0 16 if(!(i%prime[j])) 17 break; 18 } 19 } 20 return cnt; 21 }

4.线性筛法空间优化(2):bool/char isPriem[i]中的每一位只存奇数(1,3,5,7......i,对应序号为0,1,2,3.......(i-1)/2)的标记,可使isPrime数组再节省一半空间;

              则从1到n奇数 i 在数组中的标记为isPrime[(i-1)/2/8]&(1<<((i-1)/2%8))。

 1 int makePrime4(int n)
 2 {
 3     memset(isPrime,-1,sizeof(isPrime)); 
 4     memset(prime,0,sizeof(prime));
 5     //
6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(int i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[(i-1)/2/8]&(1<<((i-1)/2%8))) //(1)将i改为(i-1)/2即可 11 prime[++cnt]=i; 12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++) 13 { 14 int t=i*prime[j]; 15 if(t%2) //(2)当t为奇数时才有标记可以改变,偶数直接忽略 16 isPrime[(t-1)/2/8]&=(~(1<<((t-1)/2%8))); //t改成(t-1)/2即可 17 if(!(i%prime[j])) 18 break; 19 } 20 } 21 return cnt; 22 }

 注:空间优化通常会增加时间负担

附下4个函数求五千万以内的素数的运行时间:

测评代码:

 1 int main()
 2 {
 3     clock_t s,e;
 4     int n,k;
 5     while(cin>>n)
 6     {
 7         cout<<"内的素数有个 最大为:\\n" ;
 8         s=clock();
 9         k=makePrime4(n);
10         e=clock();
11         cout<<k<<\' \'<<prime[k]<<endl;
12         cout<<"T4="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
13         s=clock();
14         k=makePrime3(n);
15         e=clock();
16         cout<<k<<\' \'<<prime[k]<<endl;
17         cout<<"T3="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
18         s=clock();
19         k=makePrime2(n);
20         e=clock();
21         cout<<k<<\' \'<<prime[k]<<endl;
22         cout<<"T2="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
23         s=clock();
24         k=makePrime1(n);
25         e=clock();
26         cout<<k<<\' \'<<prime[k]<<endl;
27         cout<<"T1="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
28         
29     }
30     return 0;
31 }

 

以上是关于素数线性筛优化的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数学基础素数线性筛法--欧拉筛法模板普通筛法的优化

素数筛法

P3383 模板线性筛素数

筛素数算法——线性筛素数算法

浅谈线性素数筛

线性筛素数(欧拉筛)