算法学习——递推1

Posted 2020-06-21

递推，顾名思义，就是从一个小问题一步步推出问题的结果。在这个过程中，最主要的就是发现其中的递推关系。

给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。

来看一个问题：“未名湖边的烦恼”

问题描述：

　　每年冬天，北大未名湖上都是滑冰的好地方。北大体育组准备了许多冰鞋，可是人太多了，每天下午收工后，常常一双冰鞋都不剩。
　　每天早上，租鞋窗口都会排起长龙，假设有还鞋的m个，有需要租鞋的n个。现在的问题是，这些人有多少种排法，可以避免出现体育组没有冰鞋可租的尴尬场面。（两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法）

输入格式

　　两个整数，表示m和n

输出格式

　　一个整数，表示队伍的排法的方案数。

样例输入

3 2

样例输出

5

数据规模和约定：　m,n∈［0,18］

 

分析：首先很明显的一点，这个问题中m必须不小于n，否则有0种排法。为了找到其中的递推关系，我们先假定还鞋的人i=1（i=1->m），这时无论j=0或1(j=1->n)，排法f[i][j]始终等于1（还鞋的人排在前），在往前推的过程中，我们发现当i=j时，意味着这一步中的最后一名一定是一个租鞋的人（因为m必须>=n），那么将这最后一名去掉对前面的排法没有任何影响，故有一个递推关系：当i=j时，f[i][j]=f[i][j-1];而当i>j时，我们不知道往这步推的时候，新加入的人是还鞋的还是租鞋的，故有，当i>j,f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]; 至此，递推关系已经很明朗了。

以下是实现代码：

#include"iostream"
using namespace std;
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    int a[19][19]={0};
    for(int i=1;i<=m;i++)
        a[i][0]=1;    //预处理
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j)
                a[i][j]=a[i][j-1];
            else if(i>j)
                    a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
        }
    cout<<a[m][n];
    return 0;
}