数据结构-图-经典算法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数据结构-图-经典算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
参考资料
http://www.cnblogs.com/hanchan/archive/2009/09/23/1572509.html
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
http://www.cnblogs.com/RootJie/archive/2012/05/15/2501317.html
四、最短路径
1、从某个源点到其余各个顶点的最短路径
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
算法描述
1)算法思想:
设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
实例:
如下:
迭代过程如下:
迭代 |
S |
U |
dis[2] |
dis[3] |
dis[4] |
dis[5] |
初始 |
{1} |
--- |
10 |
-1 |
30 |
100 |
1 |
{1,2} |
2 |
10 |
60 |
30 |
100 |
2 |
{1,2,4} |
4 |
10 |
50 |
30 |
90 |
3 |
{1,2,4,3} |
3 |
10 |
50 |
30 |
60 |
4 |
{1,2,4,3,5} |
5 |
10 |
50 |
30 |
60
|
2.每一对顶点之间的最短路径
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在)
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述:
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。
b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法:两条线,从左上角开始计算一直到右下角 如下所示
给出矩阵,其中矩阵A是邻接矩阵,而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点
相应计算方法如下:
最后A3即为所求结果
以上是关于数据结构-图-经典算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
《数据结构与算法》十大经典排序算法动图演示(2019最新Python代码)