树形dp（洛谷1040 加分二叉树noip2003提高组第三题）

Posted 2020-09-20

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入样例#1：

5
5 7 1 2 10

输出样例#1：

145
3 1 2 4 5
思路在代码中了~

/*一旦根的位置在一个中序遍历之中确定，它的左边的序列就是它的左子树，右边就是右子树。那么整棵树的最优值就是左子树的最优值乘上右子树的最优值。
状态转移方程：f[i,j]表示中序遍历中i~j这棵子树能得到的最大加分 f[i,j]=max{f[i,k-1]*f[k+1,j]+f[k,k]}（i<=k<=j）
动态规划的顺序是自下而上，类似于区间动态规划。 
边界处理：将所有空子树的值都赋为1。《摘自网络》*/

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200
using namespace std;
int a[maxn],b[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
int n;

void dfs(int from,int to)//递归打印树 
{
   if(from<=to)   
   {
      cout<<b[from][to]<<" ";
      dfs(from,b[from][to]-1);
      dfs(b[from][to]+1,to);
   }
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<=n+1;i++)
      for(int j=0;j<=n+1;j++)//初始化，注意全部 
        dp[i][j]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	  cin>>a[i];
	  dp[i][i]=a[i];
	  b[i][i]=i;
    }
    
    for(int len=2;len<=n;len++)//这里枚举长度才无后效性 
	for(int i=1;i<=n-len+1;i++)
	  {
	      int j=i+len-1;
		  for(int k=i;k<=j;k++)
	      {
			   if(dp[i][j]<dp[i][k-1]*dp[k+1][j]+dp[k][k])
			   {
			     dp[i][j]=dp[i][k-1]*dp[k+1][j]+dp[k][k];
			     b[i][j]=k;
			   }
		  }
	  }
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	dfs(1,n);
   return 0;
}