紫书第9章 动态规划初步

Posted 2020-06-21 qlky

9.1　数字三角形

9.1.2　记忆化搜索与递推

方法1：递归计算。程序如下（需注意边界处理）：

int solve(int i,int j)
{
     return a[i][j] + (i==n ?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));
}

用直接递归的方法计算状态转移方程，效率往往十分低下。其原因是相同的子问题被重复计算了多次。

 

方法2：递推计算。程序如下（需再次注意边界处理）：

int i, j;
for(j = 1; j ＜= n; j＋＋) d[n][j] = a[n][j];
for(i = n－1; i ＞= 1; i——)
for(j = 1; j ＜= i; j＋＋)
d[i][j] = a[i][j] ＋ max(d[i＋1][j],d[i＋1][j＋1]);

程序的时间复杂度显然是O(n2)，但为什么可以这样计算呢？原因在于：i是 逆序枚举的，因此在计算d[i][j]前，它所需要的d[i＋1][j]和d[i＋1][j＋1]一定已经计算出来了。

 

方法3：记忆化搜索。程序分成两部分。首先用“memset(d,－1,sizeof(d));”把d全部初始化为－1，然后编写递归函数(1)：

int solve(int i, int j){
if(d[i][j] ＞= 0) return d[i][j];
return d[i][j] = a[i][j] ＋ (i == n ? 0 : max(solve(i＋1,j),solve(i＋1,j＋1)));

 

9.2　DAG上的动态规划

9.2.1　DAG模型
嵌套矩形问题。有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a、b描述，表示它的长和宽。矩
形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c, d)中，当且仅当a＜c，b＜d，或者b＜c，a＜d（相当于把矩
形X旋转90°）。例如，(1, 5)可以嵌套在(6, 2)内，但不能嵌套在(3, 4)内。你的任务是选出尽
量多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如
果有多解，矩形编号的字典序应尽量小。

int dp(int i)
{
     int& ans = d[i];
     if(ans>0) return ans;
     for(int j = 0;j<n;j++)
     {
          if(G[i][j])
               ans = max(ans,dp(j)+1);
     }
     return ans;
}

 

原题还有一个要求：如果有多个最优解，矩形编号的字典序应最小。还记得第6章中的
例题“理想路径”吗？方法与其类似。将所有d值计算出来以后，选择最大d[i]所对应的i。如
果有多个i，则选择最小的i，这样才能保证字典序最小。接下来可以选择d(i)＝d(j)+1且
(i,j)∈E的任何一个j。为了让方案的字典序最小，应选择其中最小的j

void print_ans(int i) {2
printf("％d ", i);
for(int j = 1; j <= n; j＋＋) if(G[i][j] && d[i] == d[j]＋1){
print_ans(j);
break;
}
}

 

9.2.3　固定终点的最长路和最短路

int dp(int s)
{
     int& ans = d[s];
     if(ans>=0) return ans;
     for(int i = 0;i<n;i++)
     {
          if(s>=v[i]) ans = max(ans,dp(s-v[i])+1);
     }
     return ans;
}