快速幂（讲解）

Posted 2020-09-20

对于快速幂有人会问：要快速幂干什么，cmath库里的pow就很好用啊！

但是你有没有想过他的时间复杂度！假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，况且有些大佬说：用stl比用循环还慢。但是我们在这里所说的快速幂的目的就是做到快速求幂，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。

快速幂的原理是用二分及二进制优化的。

假设我们要求a^b,那么我们在这里如果我们要用快速幂来做这道题，我们可以把b拆成二进制，该二进制的第i位的权为2^(i-1),例如：

当b==11时，a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，有没有发现现在就快多了？

(⊙o⊙)…貌似这两项也不是很好求的样子。。。。

没事，我们在下面还会讲到的。

由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >>   

　　&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。

　　>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位。

不多说了，先来看看代码吧。

 各种模板

　　　　one。快速幂普通版（未取模）

int kpow(int n,int k)
{
     long long int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res*=n;
        n*=n;
        k=k>>1;//每次都将k/2，为使用的二进制，使改代码更快。 
    }
    return res;
}

　　　　two。快速幂取余版

int kpow(long long  n,long long  k,long long  mod)
{
     long long int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=(res*n)%mod;
        n=(n*n)%mod;
        k=k>>1;//每次都将k/2，为使用的二进制，使改代码更快。 
    }
    return res;
}

three。由于若题目数据太大，会使快速幂时由于是先乘后取余，乘后会导致越界，故可采用模拟乘法，在模拟乘法过程中取余数

  即模拟乘法+快速幂

int qpow(long long n,long long k,long long mod)
{
    long long int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=(res*n)%mod;
        n=(n*n)%mod;
        k=k>>1;
    }
    return res;
}
/******************华丽的分割线*****************************/ 
              /****模拟乘法****/ 
int Analog multiplication(long long n,long long k,long long mod)
{
    long long  res=0;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(res+n)%mod;
        n=(2*n)%mod;
        k=k>>1;    
    }    
    return res;
}
            /****快速幂****/ 
int qpow(long long n,long long k,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(k) 
    {
        if(k&1) res=Analog multiplication(n,k,mod);
        n=Analog multiplication(n,n,mod);
        k=k>>1;
    }
    return res;
}

代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让n*=n目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解n*=n这一步，看：：：n*n==n^2,下一步再乘，就是n^2*n^2==n^4,然后同理  n^4*n4=n^8,,,,,see?是不是做到了n-->n^2-->n^4-->n^8-->n^16-->n^32.......指数正是 2^i 啊，再看上  面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。