BZOJ 3130: [Sdoi2013]费用流 网络流+二分
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了BZOJ 3130: [Sdoi2013]费用流 网络流+二分相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
3130: [Sdoi2013]费用流
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Description
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题:给定一张有向图表示运输网络,一个源点S和一个汇点T,每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足:(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负;(2)除了源点S和汇点T之外,对于其余所有点,都满足该点总流入流量等于该点总流出流量;而S点的净流出流量等于T点的净流入流量,这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络,求总运输量最大的网络流方案。
上图表示了一个最大流问题。对于每条边,右边的数代表该边的最大流量,左边的数代表在最优解中,该边的实际流量。需要注意到,一个最大流问题的解可能不是唯一的。 对于一张给定的运输网络,Alice先确定一个最大流,如果有多种解,Alice可以任选一种;之后Bob在每条边上分配单位花费(单位花费必须是非负实数),要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到,Bob在分配单位花费之前,已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小,而Bob希望总费用尽量大。我们想知道,如果两个人都执行最优策略,最大流的值和总费用分别为多少。
Input
第一行三个整数N,M,P。N表示给定运输网络中节点的数量,M表示有向边的数量,P的含义见问题描述部分。为了简化问题,我们假设源点S是点1,汇点T是点N。
接下来M行,每行三个整数A,B,C,表示有一条从点A到点B的有向边,其最大流量是C。
Output
第一行一个整数,表示最大流的值。
第二行一个实数,表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
1 2 10
2 3 15
Sample Output
10.0000
HINT
【样例说明】
对于Alice,最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob,给第一条边分配0.5的费用,第二条边分配0.5的费用。总费用
为:10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据:所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据:N < = 100,M < = 1000。
对于l00%的测试数据:所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流
量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
Source
想法:题目中“Bob在分配单位花费之前,已经知道Alice所给出的最大流方案”,就是说Alice选了一个方案后,Bob才分配。通过乘法分配律什么的,可以得到Bob把花费全放在在流量最大的那条边上的总费用最优。于是限制一下通过一条边的最大流量。
鉴于$\frac{最大流}{路径数}$可能为实数,所以上限可以是实数。然后就是二分+网络流了.....
#include<cstdio> typedef long long ll; const int MAXN(110),MAXM(1010); const double eps(1e-6),INF(0x7fffffff); int n,m,p,a[MAXM],b[MAXM],c[MAXM],S,T; double sum,big_flow,small_cost; struct Node{int nd,nx;double fl;}bot[MAXM<<1];int tot=1,first[MAXN]; void add(int a,int b,double f){bot[++tot]=(Node){b,first[a],f};first[a]=tot;} void addedge(int a,int b,double f){add(a,b,f);add(b,a,0);} double min(double a,double b){return a>b?b:a;} void build(double limt) { for(int i=1;i<=n;i++)first[i]=0;tot=1; for(int i=1;i<=m;i++) addedge(a[i],b[i],min(limt,c[i])); } int q[MAXN],dis[MAXN],l,h,now; bool bfs(int S,int T) { for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF; q[l=1]=S;dis[S]=0;h=0; while(h<l) { now=q[++h]; for(int v=first[now];v;v=bot[v].nx) if(bot[v].fl>eps&&dis[bot[v].nd]==INF) q[++l]=bot[v].nd,dis[bot[v].nd]=dis[now]+1; } return dis[T]!=INF; } double dfs(int x,int T,double flow) { if(x==T)return flow; double sum=0,tmp; for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx) if(bot[v].fl>eps&&dis[bot[v].nd]==dis[x]+1) { tmp=dfs(bot[v].nd,T,min(bot[v].fl,flow)); sum+=tmp; flow-=tmp; bot[v].fl-=tmp; bot[v^1].fl+=tmp; if(!flow)break; } if(!sum)dis[x]=-1; return sum; } bool ok(double limt) { build(limt); sum=0; while(bfs(S,T)) sum+=dfs(S,T,INF); return sum>=big_flow-eps; } int main() { // freopen("C.in","r",stdin); // freopen("C.out","w",stdout); scanf("%d %d %d",&n,&m,&p);S=1;T=n; for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d %d %d",a+i,b+i,c+i); ok(INF); big_flow=sum; for(double l=0,r=big_flow,mid;l+eps<r;) if(ok(mid=(l+r)/2))r=mid,small_cost=mid;else l=mid; printf("%.0lf\n%.4lf\n",big_flow,small_cost*p); return 0; }
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BZOJ3130: [Sdoi2013]费用流[最大流 实数二分]