洛谷 P2717 寒假作业

Posted 2020-09-20 wawcac

题目背景

zzs和zzy正在被寒假作业折磨，然而他们有答案可以抄啊。

题目描述

他们共有n项寒假作业。zzy给每项寒假作业都定义了一个疲劳值Ai，表示抄这个作业所要花的精力。zzs现在想要知道，有多少组连续的寒假作业的疲劳值的平均值不小于k？

简单地说，给定n个正整数A1,A2,A3,...,An，求出有多少个连续的子序列的平均值不小于k。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行两个正整数，n和k。

第二行到第n+1行，每行一个正整数Ai。

 

输出格式：

 

一个非负整数。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 2
1
2
3

输出样例#1：

4

说明

样例解释：共有6个连续的子序列，分别是(1)、(2)、(3)、(1,2)、(2,3)、(1,2,3)，平均值分别为1、2、3、1.5、2.5、2，其中平均值不小于k的共有4个。

对于20%的数据，1<=n<=100；

对于50%的数据，1<=n<=5000；

对于100%的数据，1<=n<=100000；

对于100%的数据，1<=Ai<=10000，1<=k<=10000。

 

解题思路

　　先来简化一下题意：给定一个数列a[]，求有多少个子序列元素平均值大于等于k。

　　遍历所有子区间复杂度最小O(n^2)，可用前缀和O(1)得到任意区间和。

　　想个办法吧，这类题要么用奇奇怪怪的数据结构(可能有这样的数据结构?我不知道)，要么推公式。

　　那就推公式——

　　首先取出一段区间吧，设1<=i<=j<=n，然后这段区间（a[i]~a[j]）的平均值为

　　　　(a[i]+a[i+1]+…+a[j]) / (j-i+1)>=k

　　　　分母不太好看，乘到右边吧——

　　　　a[i]+a[i+1]+…+a[j] >= k*(j-i+1)

　　　　a[i]+a[i+1]+…+a[j]>= k+…+k //(j-i+1)个k

　　　　接下来有点关键啦

　　　　a[i]+a[i+1]+…+a[j] - k-…-k>=0

　　　　(a[i]-k) + (a[i+1]-k) +……+ (a[j]-k)>=0//哦？那么整齐，有意思

　　　　那我们另设一个数组b[]，使b[i]=a[i]-k吧

　　　　b[i]+b[i+1]+…+b[j]>=0

　　　　哦？b[]的一段区间和大于等于零？

　　记得前面想暴力的时候说过用前缀和能O(1)取得任意区间和吗？给b[]套上区间和吧

　　设s[i]=b[1]+b[2]+b[3]+…+b[i]，特别的，令s[0]=0，那么b[i]+b[i+1]+…+b[j] = s[j]-s[i-1]。

　　　　s[j] - s[i-1]>=0

　　　　移项一下

　　　　s[j]>=s[i-1]，哇，快了。

　　　　因为之前定义过i<=j，所以i-1<j，这是什么？

　　　　是的没错！逆序对（大雾，应该叫顺序对的）！

　　　　i-1<j且s[i-1]<=s[j]，对s数组求逆序对顺序对即可。

　　不会求逆序对的就先掌握这个姿势吧，也挺简单的。

　　最后说一下，我不知道为什么把求逆序对的程序类比着改一下，求出来“顺序对”就是对的，反正套上去就AC了，如果有那个dalao知道，能在评论区为本蒟蒻解惑吗？谢谢了。

源代码

#include<stdio.h>

int n,k;
int a[100010]={0},temp[100010]={0};
long long ans=0;

void merge(int s1,int e1,int s2,int e2)
{
    int s=s1,e=e2,i=s1;
    while(s1<=e1&&s2<=e2)
    {
        if(a[s1]<=a[s2])
        {
            ans+=e2-s2+1;//求逆序对在"a[s1]>a[s2]"里,求顺序对反过来
            temp[i++]=a[s1++];
        }
        else
            temp[i++]=a[s2++];
    }
    while(s1<=e1) temp[i++]=a[s1++];
    while(s2<=e2) temp[i++]=a[s2++];
    for(i=s;i<=e;i++) a[i]=temp[i];
}
void msort(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    msort(l,mid);
    msort(mid+1,r);
    merge(l,mid,mid+1,r);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1,b;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&b);
        b-=k;
        a[i]=a[i-1]+b;//输入a[i]时就顺带处理出了s[i]，依然存在a[i]里
    }
    msort(0,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}