数论及其应用——积性函数问题

Posted 2020-06-21 黑大帅之家

 

  在学习快速幂的过程中，我们曾遇到过因子和函数σ(n)，曾提及该函数是积性函数，不过当时并没有给出证明。在这篇文章中，我们将针对数论中的积性函数问题，讨论更多的模型。

  首先我们先给出一些定义。

  定义1：定义在所有正整数上的函数成为算数函数。

  定义2：算术函数f如果满足对于任意两个互素的正整数m、n，均由f(mn) = f(m)f(n)，就称其为积性函数。如果对于任意的m、n满足上述性质，则称其为完全积性函数。

  下面我们基于此来讨论欧拉函数φ(n)。

  首先，该函数的含义表示不超过n且与n互素的正整数的个数。基于对该函数的含义，我们会得出如下的定理。

  定理1：如果p是素数，则φ(p) = p - 1。   定理2：如果p是素数，则φ(p^a) = p^a - p^(a-1)。

  证明：不超过p^a的数有p^a 个，这其中我们找到与p^a是非互素关系的数——p、2p、3p、4p……p^(a-1)p，有p^(a-1)个，由此得证。

  定理3：设n =∏p^ai是正整数n的素数幂分解，那么有φ(n) = n ∏(1 - pi)。   证明：首先基于算数基本定理，对于任意大于1的正整数我们都可以写成素数幂分解的形式，然后再基于定理2，通过化简整理即可得到欧拉函数的通式。

  基于我们给出的这三条定理，我们通过一个题目来具体实现欧拉函数值的求解。(Problem source : pku 2407)

  

Description

Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.

Input

There are several test cases. For each test case, standard input contains a line with n <= 1,000,000,000. A line containing 0 follows the last case.

Output

For each test case there should be single line of output answering the question posed above.

  题目大意：典型的计算欧拉函数值的问题。   编程实现：知晓了的计算通式，我们只需要通过简单的编程技巧来实现即可。   实现计算欧拉函数值的方法有很多，这里我们给出直接实现的方法。即遍历出n所有的素因子然后套用公式，优化技巧很类似与我们在《数论及其应用——素数问题》中探讨过的，找素因子只需穷举<=sqrt(n)，即可。

  参考代码如下。

 

#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;

int phi(int n)
{
      int rea = n;
        for(int i = 2;i*i <=n;i++)

             if(n%i == 0)
             {
                 rea = rea - rea/i;
                 do
                    n /= i;
                 while(n%i == 0);
             }
             if(n > 1)
                  rea = rea - rea/n;
             return rea;

}

int main()
{
       int n;
       while(cin >> n && n)
       {
                  cout << phi(n) << endl;
       }
       return 0;
}

  ——未完