斯特林数

Posted 2020-09-19 小螺号打豆豆

一个经典的组合数学问题。求解方法：递推。

第一类斯特林数：n个数摆成m个环，有多少种方法？数各不相同。

s[i][j]表示i个数摆成j个环  的方法数目。

递推：1，摆第n+1个数时，如果前n个数摆成了m个环，那么要在环中插入一个数，总数目是s[n][m]*n;

　　　2，如果前n个数摆成了m-1个环，方法数目是s[n][m-1].

　　　　综上：s[n+1][m]=s[n][m]*n+s[n][m-1].

这个过程和组合数公式：C[n][m]=C[n-1][n-1]+C[n-1][n]   类似。

第二类斯特林数：经典问题，n个不同的球放到m个相同的盒子里，每个盒子不为空。

和第一类很相似。

递推：1，放第n+1个球时，如果前n个球已经把m个盒子都填了，那么这个球有m中放法，S[n][m]*m;

　　　2，如果前n个球只把n-1个盒子填了，那么这个球只有一种放法，S[n][m-1]*1.

 

HDU3625问题：有n个房间和n个对应的钥匙，每个房间放着一把钥匙，侦探要侦破案件，调查所有房间，他只能破门而入，1号房间的客人比较尊贵，不能破开1号门，给定数k，要求最多只能破开k个门，求侦探成功的概率。

　　开一个门就能开成环的所有门，破门次数对应环的个数，s[n][i]；第一个房间不能破门进入，看作1号门自成一环，无法完成的情况就是s[n-1][i-1]种。

　　能进入的总情况数目：Σi~k  s[n][i]-s[n-1][i-1]

　　所有情况数目和：n！

　　做除法

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=25;
 4 typedef unsigned long long ull;
 5 ull s[maxn][maxn];
 6 void init()
 7 {
 8     s[0][0]=1;
 9     for(int i=1;i<maxn;i++)
10         s[i][0]=0;
11     for(int i=1;i<21;i++)
12         for(int j=1;j<=i;j++)
13             s[i][j]=s[i-1][j]*(i-1)+s[i-1][j-1];
14 }
15 int main()
16 {
17     init();
18     int t,k,n;
19     cin>>t;
20     while(t--)
21     {
22         cin>>n>>k;
23         double fin=0;
24         for(int i=1;i<=k;i++)
25             fin=fin+s[n][i]-s[n-1][i-1];
26         for(int i=1;i<=n;i++)
27             fin/=i;
28         printf("%.4f\n",fin);
29     }
30     return 0;
31 }

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