BZOJ3160万径人踪灭 Manacher+FFT

Posted 2020-09-19 CQzhangyu

【BZOJ3160】万径人踪灭

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题解：自己想出来1A，先撒花~（其实FFT部分挺裸的）

做这道题，第一思路很重要，显然看到这题的第一想法就是ans=总数-不合法（不要问我为什么显然）。因为向这种用补集法的题一般都会给一些很奇葩的限制条件，但是一旦换个角度去想就很水了，好了不多说废话了。

显然，不合法的情况，也就是连续的回文区间的方案数，我们直接上Manacher就搞定了嘛！答案就是所有对称轴的（最长回文串长度+1）/2之和（是的，很显然）

对于不合法的情况，我们发现两串对称的情况跟卷积的形式类似（FFT做多了吧？），但是问题来了，怎么构造出一个卷积，使得它的值就是回文子串的个数呢？

我们发现原串只有a或b，所以思考能不能构造出一种卷积，使得对应位置的值跟下面一样

a*b->0       b*a->0        a*a->1     b*b->1

如果把a看成0，b看成1，这显然是一个异或，然而并没什么卵用。但我们如果把a看成0，b看成1，可以满足只有b*b是1，其他都是0；同理，把a看成1，b看成0，可以满足只有a*a是1，其他都是0，然后我们对这两种情况分别求一次卷积，就能得到：以i为对称中心的最长子串的回文半径长度。这里注意一下，用于是两个一样的多项式相乘，所以每对字符会被算成两次（单个字符自我对称的除外），所以我们要的回文半径应该是(x+1)/2

然而半径长度并不是方案数，由于每对对称的字符都可以选或不选，所以对答案的贡献就是2^长度-1（因为你不能一个也不选吧？）

好吧，感觉说了这么多又有点说不明白了，所以欢迎提问和hack~

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define pi acos(-1.0)
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,ans;
struct cp
{
	double x,y;
	cp (double a,double b){x=a,y=b;}
	cp (){}
	cp operator + (cp a){return cp(x+a.x,y+a.y);}
	cp operator - (cp a){return cp(x-a.x,y-a.y);}
	cp operator * (cp a){return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
}n1[1<<20],n2[1<<20];
int s[1<<20],ret[1<<20],rl[1<<20],pn[1<<20];
char str[1<<20];
void FFT(cp *a,int len,int f)
{
	int i,j,k,h;
	cp t;
	for(i=k=0;i<len;i++)
	{
		if(i>k)	swap(a[i],a[k]);
		for(j=(len>>1);(k^=j)<j;j>>=1);
	}
	for(h=2;h<=len;h<<=1)
	{
		cp wn(cos(f*2*pi/h),sin(f*2*pi/h));
		for(j=0;j<len;j+=h)
		{
			cp w(1.0,0);
			for(k=j;k<j+h/2;k++)	t=w*a[k+h/2],a[k+h/2]=a[k]-t,a[k]=a[k]+t,w=w*wn;
		}
	}
}
void work(cp *a,cp *b,int len)
{
	FFT(a,len,1),FFT(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++)	a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,len,-1);
	for(int i=0;i<len;i++)	ret[i]+=(int)(a[i].x/len+0.1);
}
int main()
{
	scanf("%s",str);
	int i,mx,pos,len=strlen(str);
	for(i=0;i<len;i++)	s[n++]=0,s[n++]=str[i]-‘a‘;
	s[n++]=0;
	for(mx=-1,i=0;i<n;i++)
	{
		if(mx>i)	rl[i]=min(mx-i+1,rl[2*pos-i]);
		else	rl[i]=1;
		for(;i+rl[i]<n&&rl[i]<=i&&s[i+rl[i]]==s[i-rl[i]];rl[i]++);
		if(mx<i+rl[i]-1)	mx=i+rl[i]-1,pos=i;
	}
	for(i=0;i<n;i++)	ans=(ans-rl[i]/2+mod)%mod;
	for(len=1;len<2*n;len<<=1);
	for(i=0;i<len;i++)	n1[i]=n2[i]=cp(0,0);
	for(i=1;i<n;i+=2)	n1[i]=n2[i]=cp(s[i],0);
	work(n1,n2,len);
	for(i=0;i<len;i++)	n1[i]=n2[i]=cp(0,0);
	for(i=1;i<n;i+=2)	n1[i]=n2[i]=cp(s[i]^1,0);
	work(n1,n2,len);
	for(pn[0]=i=1;i<=n;i++)	pn[i]=(pn[i-1]<<1)%mod;
	for(i=0;i<n;i++)	ans=(ans+pn[(ret[i<<1]+(i&1))>>1]-1)%mod;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}