数论基础的补充解说

Posted 2020-09-19

数论基础的补充解说

整除的一些性质：

(1)能被2整除的数，个位上的数都能被2整除

(2*)能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除

(3*)能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除

(4)能被5整除的数。末尾是0或5

(5*)能被25整除的数。十位和个位所组成的两位数能被25整除

(6*)能被125整除的数。百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除

(7)能被3整除的数，各个数位上的数字之和能被3整除

(8*)能被9整除的数。各个数位上的数字和能被 9 整除

(9)假设一个数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么这个数能被 6 整除

(10)假设一个数既能被 2 整除又能被 5 整除，那么这个数能被 10 整除（即个位为0）

(11*)能被 11 整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被 11 整除

 

小数的GCD:

eps控制精度，fmod是C++的库函数，运算浮点数的mod运算。

 

拓展欧几里得:

Ps:关于欧几里得和拓展欧几里得能够參考我的另外一篇博文《欧几里得 &　拓展欧几里得算法 解说 （Euclid & Extend- Euclid Algorithm）》

（1）求解不定方程：

所谓不定方程，即未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

如3x-4y==6，方程仅仅有一个，可是解却能够有多个。

求解不定方程的一组解，或者推断不定方程是否有解，扩展欧几里得就能够派上用场了。　　　

（2）求解模线性方程（线性同余方程）：

求解ax≡b(mod p)，未知数x的最小解。　　　

（3）求解模的逆元：　　　　　
同余方程ax≡b(mod n)，假设gcd(a,n)==1。则方程仅仅有唯一解。在这样的情况下，假设b==1。同余方程就是ax ≡ 1(mod n),gcd(a,n)=1。这时称求出的x为a的对模n乘法的逆元。
PS：关于逆元，有一个蛮实用的性质：　　　　

设p为素数，（a/b）% p = a * b^(p-2) % p 。这样就能够将除法处理为乘法。

素数：

　定义

　　素数是大于1的正整数，而且除了1和其本身不能被其它的正整数整除。

　　非素数称为合数。

　素数的 eratosthenes 筛法

　　　筛法是数论中一个比較重要的算法，在O(sqrt(N))的时间内获得N以内全部的素数。

　　　所谓筛法。就是每次筛去一部分数。如图，起始全部的数都标记为素数，遇到2时。将全部2的倍数标记为合数，以此类推下去。剩下的都是素数了。

　　　

该算法适用于较小的MAXN。对于较大的MAXN，内存无法开如此大的空间。

　区间素数

　　获得[L , U]区间的素数，L和U非常大，可是U-L不是非常大。

　　首先线性筛出1到sqrt(2147483647)之间全部的素数(2147483647是啥？自个儿猜去~)。然后再通过已经晒好素数筛出给定区间的素数。

算是模板吧，此处不贴代码~

素数判定

　试除法

　　　就是大家都会的简单算法，用小于该数的全部素数去试除，若都无法整除，则为素数，复杂度O(sqrt(N)).

　Miller-Robin随机素性測试

　　　关于Miller-Robin算法，能够另劈一章进行解说，因而此处仅仅做简略介绍。

　　　Miller-Rober 带有随机性，可能測出伪素数，概率为1/（2^s），一般 s 为 20 左右。

　　　因而失误概率非常低。适用于大数素性推断。

　　　关于Miller-Robin的时间复杂度，最坏为(1+O(1))*log2(N)。Miller- Rabin算法的性能是非常好的。

在实际应用中。Miller-Rabin的实际运行速度也非常快。

唯一分解理论

定义：自然数N皆能够表示为素数之积

一些结论：

①、N的约数个数，为(x1+1)*(x2+1)*……*(xm+1)

分解质因子

普通的分解质因数

　　　对n进行分解质因子，将分解的因子存入数组facs中。长度为cnt。

　　　先找一个最小的质数k；

　　　若该质数等于n，则分解质因子的过程已经结束；

　　　若n>k，且k|n，则记录k。n/=k，然后继续寻找；

　　　若n不能被k整除。k+=2。继续寻找。

Pollard_rho因数分解

　　　适用于大数的分解质因子。返回的质因子无序。

欧拉函数

中国剩余定理

 

參考资料：

①、东北师范大学数论基础解说