区间动规平行四边形优化

Posted 2020-09-19 SummerSky

平行四边形优化，是一种在一类区间动规中减少时间复杂度的方法。

有方程：m(i,j)=min(m(i,k)+m(k+1,j)+w(i,j)),s(i,j)为最优点取到值。

公式：如果有w(i, j)+w(i′, j′)≤w(i′, j)+w(i, j′) 那么我们称函数 w 满足四边形不等式。 

　　　就有s(i, j)≤s(i, j + 1)≤s(i + 1, j + 1)

证明思路如下：

我们先要证明：m(i,j)+m(i′,j′)≤m(i′,j)+m(i,j′),i≤i′< j≤ j′ 。

分部证明，每部都用数学归纳法证明，用前面一部作为初始条件：

• i=i′或j= j′
• i<i′= j< j′ 
• i<i′< j< j′ 

然后再证：s(i, j)≤s(i, j + 1)≤s(i + 1, j + 1)

我们令mk (i, j)表示决策变量取k的时候目标函数的值。 

有上面证明的加上w(i, j)+m(i,k−1)+w(i, j+1)+m(i,k′−1) 。

构造出：mk (i, j)−mk′ (i, j)≤mk (i, j+1)−mk′ (i, j+1) 。

就能证明s(i, j +1)≥ s(i, j) 。另一边证明同理。

详细证明：http://files.cnblogs.com/files/SXia/DP平行四边形优化.pdf