卡特兰数

Posted 2020-09-19 小螺号打豆豆

卡特兰数是组合数学 常见的数列

主要有4中形式：

1: h(n)= C 2n n /(n+1)
2: h(n)= C 2n n - C 2n n-1
3: h(n)= h(n-1)*(4*n-2) /(n+1)
4: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)

相当多的问题，虽然表面上看起来很不一样，但结果都是卡特兰数。

HDU1023  train problem 2  讲火车 按编号1 2 3 。。。n 的顺序进站，  出站的序列数目有多少种？

百度百科的解释两种，1：设k是最后出站的，那么编号小于k的 在k之前出站 ， 编号大于k的 在k之前出站，两种情况互补干涉，符合乘法原理；设h（n）表示n列火车出站的序列种类数目，第k个出站的可能数目是：h（k-1）*h（n-k-1），h（n）就是对它的求和。

第二种解释：n列火车，每列火车有两种选择，进站和出站，共有2n次操作，设进站为0，出站为1，可以用长度为2n的序列表示一种进出站方式。100100100100  ；序列中有n个1，n个0，根据问题知，想要出站，站内必须有火车，从左到右，0的数目>=1的数。　　不符合要求的情况：从左到右，长2m的序列满足要求，且m个1，m个0，第2m+1个数是1。

如果长为2n的二进制序列由n+1个1和n-1个0组成那么它一定是符合上面^要求，同样，依上述要求，讲2m+1以后的0和1互换，则恰好构成n+1个1和n-1个0构成的序列。二者一一对应。数目是C2n  n-1

是2式。

卡特兰数前几项：

h(1)=1;h(2)=2;h(3)=5;h(4)=14;h(5)=42;h(10)=16796;h(20)=6564120420;

编程实现需要用高精度乘除法；实际上就是多项式乘除法。

//four expression  :
/*
    1: h(n)= C 2n  n  /(n+1)
    2: h(n)= C 2n  n - C 2n n-1
    3: h(n)= h(n-1)*(4*n-2) /(n+1)
    4: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)

    */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int MOD=100000;
int kate[maxn][maxn];
void init()
{
    kate[0][0]=1;
    kate[1][0]=1;
    kate[2][0]=2;
    for(int i=3;i<maxn;i++)
    {
        /******************
        multi
        */
        for(int j=0;j<maxn;j++)
            kate[i][j]=kate[i-1][j]*(4*i-2);
        for(int j=0;j<maxn-1;j++)
        {
            kate[i][j+1]+=kate[i][j]/MOD;
            kate[i][j]%=MOD;
        }

        int tmp=0;
        //***************************
        // division
        for(int j=maxn-1;j>=0;j--)
        {
            tmp=kate[i][j]+tmp*MOD;
            kate[i][j]=tmp/(i+1);
            tmp=tmp%(i+1);
        }

    }
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        int i;
        for(i=maxn-1;i>=0&&!kate[n][i];i--);
        printf("%d",kate[n][i]);
        for(i=i-1;i>=0;i-- )
            printf("%05d",kate[n][i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

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