POJ 3233 Matrix Power Series 二分+矩阵乘法

Posted 2020-09-19 gavanwanggw

链接：http://poj.org/problem?id=3233

题意：给一个N*N的矩阵（N<=30)，求S = A + A^2 + A^3 + … + A^k(k<=10^9)。

思路：非常明显直接用矩阵高速幂暴力求和的方法复杂度O(klogk)。肯定会超时。我採用的是二分的方法， A + A^2 + A^3 + … + A^k=(1+A^(k/2)) *(A + A^2 + A^3 + … + A^(k/2))。这样就能够提出一个(1+A^(k/2))，假设k是奇数，单独处理A^k。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <ctype.h>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#define PI acos(-1.0)
#define maxn 35
#define maxm 35
#define INF 10005
#define eps 1e-8
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using namespace std;
int k,mm;
struct Matrix
{
    int n,m;
    int a[maxn][maxm];
    void init()
    {
        n=m=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    Matrix operator +(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
            {
                tmp.a[i][j]=a[i][j]+b.a[i][j];
                tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+mm)%mm;
            }
        return tmp;
    }
    Matrix operator -(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                tmp.a[i][j]=a[i][j]-b.a[i][j];
        return tmp;
    }
    Matrix operator *(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.init();
        tmp.n=n;
        tmp.m=b.m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<b.m; j++)
                for(int k=0; k<m; k++)
                {
                    tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
                    tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+mm)%mm;
                }

        return tmp;
    }
};//仅仅有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义
Matrix M_quick_pow(Matrix m,int k)
{
    Matrix tmp;
    tmp.n=m.n;
    tmp.m=m.m;//m=n才干做高速幂
    for(int i=0; i<tmp.n; i++)
    {
        for(int j=0; j<tmp.n; j++)
        {
            if(i==j)
                tmp.a[i][j]=1;
            else tmp.a[i][j]=0;
        }
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            tmp=tmp*m;
        k>>=1;
        m=m*m;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    Matrix A,ans,In,res;
    while(~scanf("%d%d%d",&A.m,&k,&mm))
    {
        ans.init();
        res.init();
        res.m=res.n=ans.m=ans.n=In.m=In.n=A.n=A.m;
        for(int i=0; i<In.m; i++)
        {
            In.a[i][i]=1;
            res.a[i][i]=1;
        }
        for(int i=0; i<A.m; i++)
            for(int j=0; j<A.n; j++)
            {
                scanf("%d",&A.a[i][j]);
                A.a[i][j]%=mm;
            }
        while(k)
        {
            if(k==1)
            {
                res=res*A;
            }
            else
            {
                if(k%2)
                    ans=ans+res*M_quick_pow(A,k);
                res=res*(In+M_quick_pow(A,k/2));
            }
            k/=2;
        }
        ans=ans+res;
        for(int i=0; i<ans.m; i++)
        {
            for(int j=0; j<ans.m; j++)
            {
                if(j!=0)
                    printf(" ");
                printf("%d",ans.a[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}