[NOIP2012] 开车旅行

Posted 2020-09-19 QYP_2002

【题目描述】

小A 和小B决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从1到N 编号，且编号较小的城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i的海拔高度为Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即d[i, j] = |Hi ? Hj|。

旅行过程中，小A 和小B轮流开车，第一天小A 开车，之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小B的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出X公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小A 想知道两个问题：

1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小（如果小 B的行驶路程为0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小A 开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

2.对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程总数。

【输入格式】

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海拔高度，即H1，H2，……，Hn，且每个Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定M组Si和 Xi。

接下来的M行，每行包含2个整数Si和Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶Xi公里。

【输出格式】

输出共M+1 行。

第一行包含一个整数S0，表示对于给定的X0，从编号为S0的城市出发，小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和Xi下小A行驶的里程总数和小B 行驶的里程总数。

【样例输入 1】

4
2 3 1 4
3
4
1 3
2 3
3 3
4 3

【样例输出 1】

1
1 1
2 0
0 0
0 0

【输入输出样例 1 说明】

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市1出发， 可以到达的城市为2,3,4，这几个城市与城市 1的距离分别为 1,1,2，但是由于城市3的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3离城市 1最近，城市 2离城市1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4离城市 2最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城市4后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。

如果从城市2出发，可以到达的城市为3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由于城市3离城市2第二近，所以小A会走到城市 3。到达城市3后，前面尚未旅行的城市为4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会直接在城市3结束旅行。

如果从城市3出发，可以到达的城市为4，由于没有离城市3 第二近的城市，因此旅行还未开始就结束了。

如果从城市4出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。

【样例输入 2】

10
4 5 6 1 2 3 7 8 9 10
7
10
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
7 7
8 7
9 7
10 7

【样例输出 2】

2
3 2
2 4
2 1
2 4
5 1
5 1
2 1
2 0
0 0
0 0

【输入输出样例 2 说明】

当 X=7时，

如果从城市1出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小A 走的距离为1+2=3，小B走的距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视为与城市1第二近的城市，所以小A 最终选择城市 2；走到9后，小A只有城市10 可以走，没有第2选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）

如果从城市2出发，则路线为 2 -> 6 -> 7  ，小A 和小B走的距离分别为 2，4。

如果从城市3出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小A和小B走的距离分别为 2，1。

如果从城市4出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小A和小B走的距离分别为 2，4。

如果从城市5出发，则路线为 5 -> 7 -> 8  ，小A 和小B走的距离分别为 5，1。

如果从城市6出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小A和小B走的距离分别为 5，1。

如果从城市7出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小A 和小B走的距离分别为 2，1。

如果从城市8出发，则路线为 8 -> 10，小A 和小B走的距离分别为2，0。

如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结束了）。

如果从城市10出发，则路线为 10，小A 和小B 走的距离分别为0，0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，但是城市2的海拔更高，所以输出第一行为2。

【数据范围】

对于30%的数据，有1≤N≤20，1≤M≤20；

对于40%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤100；

对于50%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤1,000；

对于70%的数据，有1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；

对于100%的数据，有1≤N≤100,000， 1≤M≤10,000， -1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证Hi互不相同。  

思路{

　　70分的做法是暴力连边模拟。所以要有优化。

　　连边的话，很容易想到用Splay搞一搞。

　　关键是把查询路径的复杂度降下来。

　　由于是静态，考虑倍增，优化至O(nlogn);

}

  1 #include<algorithm>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cstdio>
  5 #include<vector>
  6 #include<queue>
  7 #include<ctime>
  8 #include<cmath>
  9 #include<list>
 10 #include<deque>
 11 #include<stack>
 12 #include<map>
 13 #include<set>
 14 #define RG register
 15 #define LL long long
 16 #define dd double
 17 #define maxx 100010
 18 #define Inf 9999999999
 19 #define rs(x) (ch[x][1])
 20 #define ls(x) (ch[x][0])
 21 using namespace std;
 22 LL n;
 23 LL f[maxx][28][2],g[maxx][28];
 24 LL h[maxx];
 25 LL e[maxx][2],ch[maxx][2],pos[maxx],fa[maxx],v[maxx],tot,rt,que[9];
 26 dd dis[maxx];
 27 LL ansa,ansb;
 28 inline LL d(LL xx,LL yy) {
 29     return abs(h[xx]-h[yy]);
 30 }
 31 void make() {
 32     for(LL i=1; i<=n; ++i) {
 33         g[i][0]=e[e[i][1]][0],
 34                 f[i][0][0]=d(e[i][1],i),
 35                            f[i][0][1]=d(e[e[i][1]][0],e[i][1]);
 36     }
 37     for(int j=1; j<=20; ++j)
 38         for(LL i=1; i<=n; ++i)
 39             g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1],
 40                     f[i][j][0]=f[i][j-1][0]+f[g[i][j-1]][j-1][0],
 41                                f[i][j][1]=f[i][j-1][1]+f[g[i][j-1]][j-1][1];
 42 }
 43 void spfa(LL s,LL sum) {
 44     for(int k=20; k!=-1; k--)
 45         if(f[s][k][1]+f[s][k][0]<=sum&&g[s][k]) {
 46             ansa+=f[s][k][0];
 47             ansb+=f[s][k][1];
 48             sum-=f[s][k][0]+f[s][k][1];
 49             s=g[s][k];
 50         }
 51     if(e[s][1]&&d(e[s][1],s)<=sum)ansa+=d(e[s][1],s);
 52 }
 53 LL i;
 54 void Rotate(LL x,LL kind) {
 55     int y=fa[x],z=fa[y];
 56     ch[y][!kind]=ch[x][kind];
 57     fa[ch[x][kind]]=y;
 58     if(z)ch[z][ch[z][1]==y]=x;
 59     fa[x]=z,fa[y]=x,ch[x][kind]=y;
 60 }
 61 void Splay(LL x,LL goal) {
 62     while(fa[x]) {
 63         if(fa[fa[x]]==goal)Rotate(x,ch[fa[x]][0]==x);
 64         else {
 65             LL y=fa[x];
 66             LL kind=ch[fa[y]][0]==y;
 67             if(ch[y][kind]==x)Rotate(x,!kind),Rotate(x,kind);
 68             else Rotate(y,kind),Rotate(x,kind);
 69         }
 70     }
 71     if(!goal)rt=x;
 72 }
 73 void Insert(LL p,LL V) {
 74     LL now=rt;
 75     if(!now) {
 76         rt=++tot;
 77         pos[tot]=p,v[tot]=V;
 78         return;
 79     }
 80     while(1) {
 81         if(ch[now][v[now]<V])now=ch[now][v[now]<V];
 82         else {
 83             ch[now][v[now]<V]=++tot;
 84             fa[tot]=now,v[tot]=V,pos[tot]=p;
 85             Splay(tot,0);
 86             return;
 87         }
 88     }
 89 }
 90 LL pre(LL x) {
 91     Splay(x,0);
 92     LL now=ch[rt][0];
 93     while(ch[now][1])now=ch[now][1];
 94     return now;
 95 }
 96 LL nxt(LL x) {
 97     Splay(x,0);
 98     LL now=ch[rt][1];
 99     while(ch[now][0])now=ch[now][0];
100     return now;
101 }
102 bool comp(const LL &a,const LL &b) {
103     if(d(i,a)==d(i,b))return h[a]<h[b];
104     else return d(a,i)<d(b,i);
105 }
106 int main() {
107     freopen("drive.in","r",stdin);
108     freopen("drive.out","w",stdout);
109     scanf("%lld",&n);
110     for(i=1; i<=n; ++i)scanf("%lld",&h[i]);
111     Insert(n,h[n]);
112     for(i=n-1; i; --i) {
113         Insert(i,h[i]);
114         LL p=pre(rt),N=nxt(rt);
115         LL pp=0,NN=0;
116         if(p)pp=pre(p);
117         if(N)NN=nxt(N);
118         p=pos[p],N=pos[N],pp=pos[pp],NN=pos[NN];
119         memset(que,0,sizeof(que));
120         if(p&&p!=i)que[++que[0]]=p;
121         if(N&&N!=i)que[++que[0]]=N;
122         if(NN&&NN!=i&&NN!=N&&NN!=pp&&NN!=p)que[++que[0]]=NN;
123         if(pp&&pp!=i&&pp!=p&NN!=pp&&N!=pp)que[++que[0]]=pp;
124         sort(que+1,que+que[0]+1,comp);
125         e[i][0]=que[1];
126         if(que[2])e[i][1]=que[2];
127         if(i==n-1)e[i][1]=0;
128     }
129     LL X0;
130     scanf("%lld",&X0);
131     LL ans=0;
132     dis[0]=Inf;
133     make();
134     for(i=1; i<=n; ++i) {
135         ansa=0,ansb=0,spfa(i,X0);
136         if(!ansb)dis[i]=Inf;
137         else dis[i]=(dd)ansa/ansb;
138         if(dis[i]<dis[ans])ans=i;
139         else if(dis[i]==dis[ans]&&h[i]>h[ans])ans=i;
140     }
141     printf("%lld\n",ans);
142     LL M;
143     scanf("%lld",&M);
144     for(i=1; i<=M; ++i) {
145         LL s,x;
146         scanf("%lld%lld",&s,&x),ansa=ansb=0;
147         spfa(s,x);
148         printf("%lld %lld\n",ansa,ansb);
149     }
150     return 0;
151 }