HDU - 5976 Detachment（逆元）

Posted 2020-09-18 SomnusMistletoe

题意：将一个数x拆成a1+a2+a3+……，ai不等于aj，求最大的a1*a2*a3*……。

分析：

1、预处理前缀和前缀积，因为拆成1对乘积没有贡献，所以从2开始拆起。

2、找到一个id，使得2+3+4+……+id - 1(sum[id-1]) < x < 2+3+4+……+id(sum[id)。（二分找即可）

则rest = x - sum[id - 1]。将rest分配给2+3+4+id-1中的某个数。

3、在保证数字不重复的前提下，分配给的那个数越小越好，证明见4。

因此，应该分配给的数为id-rest。但是在id-rest小于2时，那还应该分配给2，2是可以分配的数字中最小的数字。

假设分配给4，那么最后的结果中，mul[id-1]应除以4（把4去掉），然后再乘上（4+rest）。

4、证明：设tmp=2*3*4*……*(id - 1)。

假设既可分配给4，也可分配给5的情况下，

将rest分配给4：设tmp=4*t1,则ans1=(4+rest)*t1,

将rest分配给5：设tmp=5*t2,则ans2=(5+rest)*t2,

因为t1>t2,所以ans1>ans2，得证。

5、PS：2为偶数，3为奇数，2x+3y可以表示大于1的所有正整数，3最多的时候最优。

6、逆元：

1、除法取模要用逆元。

遇到(a/b)%mod这种情况，应转化成(a*k)%mod，k即为a在mod情况下的逆元。

2、递推求逆元

inv[1]=1
for(i=2;i<n;i++)
inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD

3、定义：
满足b*k≡1 (mod MOD)   即b*k%MOD==1%MOD==1的k值就是b关于MOD的乘法逆元。

4、证明：

因为b*k≡1 (mod MOD)，即(b*k)%MOD=1,即b*k=MOD*x+1。

所以，k=(MOD*x+1)/b。

把k代入(a*k) mod MOD，得：
(a*(MOD*x+1)/b) mod MOD
=((a*MOD*x)/b+a/b) mod MOD
=[((a*MOD*x)/b) mod MOD +(a/b)] mod MOD
=[(MOD*(a*x)/b) mod MOD +(a/b)] mod MOD
因为p*[(a*x)/b] mod p=0

所以上式=(a/b)mod MOD，得证。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100000 + 10;
typedef long long LL;
LL sum[MAXN], mul[MAXN], inv[MAXN];
const LL MOD = 1e9 + 7;
void init(){
    sum[1] = 0, mul[1] = 1, inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; ++i){
        sum[i] = sum[i - 1] + i;
        mul[i] = ((mul[i - 1] % MOD) * (i % MOD)) % MOD;
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    init();
    while(T--){
        LL x;
        scanf("%lld", &x);
        if(x == 1){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        int id = lower_bound(sum + 2, sum + MAXN, x) - sum;
        if(sum[id] == x){
            printf("%lld\n", mul[id]);
            continue;
        }
        --id;
        LL rest = x - sum[id];
        LL ans;
        if(2 + rest > id){
            ans = ((mul[id] * inv[2]) % MOD * (2 + rest)) % MOD;
        }
        else{
            ans = ((mul[id] * inv[id + 1 - rest]) % MOD * (id + 1)) % MOD;
        }
        printf("%lld\n", ans % MOD);
    }
    return 0;
}