三维方形坐标空间内转角对应的单位向量

Posted 2023-04-27

三维直角坐标系xyz中，
定义Rx为一向量在yOz的平面中的投影的角度（与y正方向平行为0，与z正方向平行为pi/2），同理定义Ry为xOz平面内投影的角度（与z正方向平行为0，与x正方向平行为pi/2），Rz为xOy平面内投影的角度（与x正方向平行为0，与y正方向平行为pi/2）。
现给定一组(Rx1, Ry1, Rz1)求出满足条件的单位向量(x1, y1, z1)。

过程无所谓，结果对就好，当然有过程更好。
采纳第一个结果对的。
谢谢。
哦，还有个已知条件是x1=0

设向量所在直线为L，则在xy平面的投影的倾角为Rz，所以L在平面 y = tg( Rz ) x 上。
同样的 L 在 z = tg( Rx ) y 和 x = tg( Ry) z 上。
所以向量的终点就是这三个平面的交点。
这三个方程不是独立的，有一个相容条件，就是 tg(Rx) tg(Rz) tg(Ry) = 1
然后解方程组就能得到通解是
( tg(Ry)z, tg(Ry)tg(Rz)z, z )
如果 x = 0 这种特殊情况，这向量只能在yz平面，就没必要这么麻烦讨论了，
它就是( 0, cos(Rx), sin(Rx) ) 参考技术A 这谁懂啊，去问上帝吧！追问

就是求一个单位向量，使得他在yOz平面上相对y轴逆时针转过的角度为Rx，之后两个同理……

旋转矩阵的三维空间

参考技术A

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵。
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。
绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。 绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。 绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。
在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 γ, α, 和 β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和 θz。
任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx, θy, 和 θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。
是在 中的旋转矩阵 在 中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。
角-轴表示和四元数表示
在三维中，旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所围绕的单位向量方向 来定义。
这个旋转可以简单的以生成元来表达:
在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：
角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q:
这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。
欧拉角表示（Euler角）
在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:
进行乘法运算生成:
因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。
对称保持 SVD 表示
对旋转轴 q 和旋转角 θ，旋转矩阵
这里的 的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 θ 度 Givens 旋转，就是说