swjtu oj Paint Box 第二类斯特林数

Posted 2020-09-18 stupid_one

http://swjtuoj.cn/problem/2382/

 

题目的难点在于，用k种颜色，去染n个盒子，并且一定要用完这k种颜色，并且相邻的格子不能有相同的颜色，

打了个表发现，这个数是s(n, k) * k!

s(n, k)表示求第二类斯特林数。

那么关键是怎么快速求第二类斯特林数。

这里提供一种O（k）的算法。

 

第二类斯特林数：

 

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;


#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>
LL quick_pow(LL a, LL b, LL MOD) {  //求解 ab % MOD的值
    LL base = a % MOD;
    LL ans = 1; //相乘，所以这里是1
    while (b > 0) {
        if (b & 1) { //用quick_mul防止Miller_Rabin那里溢出。
            ans = ans * base % MOD; //如果这里是很大的数据，就要用quick_mul
        }
        base = base * base % MOD;    //notice。每次的base是自己base倍
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL fac[1000000 + 20];
LL C2(LL n, LL m, LL MOD) {
    if (n < m) return 0; //防止sb地在循环，在lucas的时候
    if (n == m) return 1 % MOD;
    LL ans1 = 1;
    LL ans2 = 1;
    LL mx = max(n - m, m); //这个也是必要的。能约就约最大的那个
    LL mi = n - mx;
    for (int i = 1; i <= mi; ++i) {
        ans1 = ans1 * (mx + i) %MOD;
        ans2 = ans2 * i % MOD;
    }
    return (ans1 * quick_pow(ans2, MOD - 2, MOD) % MOD); //这里放到最后进行,不然会很慢
}

LL C(LL n, LL m, LL MOD) {
    if (n > 1000000) return C2(n, m, MOD);
    return fac[n] * quick_pow(fac[n - m], MOD - 2, MOD) % MOD * quick_pow(fac[m], MOD - 2, MOD) % MOD;
}
const int MOD = 1e9 + 7;
void add(LL &x, LL y) {
    x += y;
    x += MOD;
    if (x >= MOD) x %= MOD;
}

void work() {
    int n, m, k;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    if (n == 1) {
        printf("%d\\n", m);
        return;
    }
    if (k == 1) {
        printf("0\\n");
        return;
    }
    LL ans = 0;
    LL res = C(m, k, MOD);
    k--;
    n--;
    for (int i = 0; i <= k; ++i) {
        if (i & 1) {
            add(ans, -(C(k, i, MOD) * quick_pow(k - i, n, MOD)) % MOD);
        } else {
            add(ans, (C(k, i, MOD) * quick_pow(k - i, n, MOD) % MOD));
        }
    }
    ans = ans * quick_pow(fac[k], MOD - 2, MOD) % MOD;
    ans = ans * fac[k + 1] % MOD;
    ans = ans * res % MOD;
    printf("%lld\\n", ans);
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 1000000; ++i) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    }
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) work();
    return 0;
}

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