曼-惠特尼U检验Mann–Whitney Test

Posted 2020-09-18

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曼-惠特尼U检验

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曼-惠特尼U检验又称“曼-惠特尼秩和检验”，是由H.B.Mann和D.R.Whitney于1947年提出的^[1]  。它假设两个样本分别来自除了总体均值以外完全相同的两个总体，目的是检验这两个总体的均值是否有显著的差别。

 

中文名

曼-惠特尼U检验

外文名

Mann-Whitney U test

提出时间

1947年

又    称

曼-惠特尼秩和检验

术语来源

统计学

目录

1. 1 定义
2. 2 步骤
3. 3 应用举例
4. 4 附表

定义

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曼-惠特尼U检验（Mann-Whitney U test）曼-惠特尼秩和检验可以看作是对两均值之差的参数检验方式的T检验或相应的大样本正态检验的代用品。由于曼-惠特尼秩和检验明确地考虑了每一个样本中各测定值所排的秩，它比符号检验法使用了更多的信息。

步骤

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检测方法的具体步骤如下：

第一步：将两组样本数据混合，并按照数据大小的升序编排等级。最小的数据 等级为1，第二小的数据等级为2，以此类推（注意，如果混合后的数据中存在相等的情况，那么相同数据的等级值应该是相同的，并取未经排名的数组中的平均 值。如数据{3, 5, 5, 9}，那么他们的等级值应该是{1, 2.5, 2.5, 4}。）^[1] 

第二步：分别求出两个样本的等级和R1,R2。

第三步：假设n1 = “一号样本观察值的项数”；n2 = “二号样本观察值的项数”；R1 = “一号样本各项等级和”；R2 = “二号样本中各项等级和”。那么U1, U2 的计算公式分别如下所示：

1	U1 = R1 - n1*(n1+1)/ 2

1	U2 = R2 - n2*(n2+1)/ 2

那么 U1与U2之和的计算公式如下所示,

1	U1 + U2 = R1 + R2 - (n1 * (n1 + 1) + n2 * n2(n2 + 1))/ 2

设2组样本总共数据有N 个，即 N = n1 + n2，又因为R1 + R2 = N(N + 1)/ 2 ，代入上式，可得

1	U1 + U2 = n1 * n2

第四步：选择U1 和U2 中最小者与临界值Uα 比较，当U < Uα时，拒绝H0，接受H1。

在原假设为真的情况下，随机变量 U 的均值和方差分别为：

当n1 和n2 都不小于 10 时，随机变量近似服从正态分布。

第四步：作出判断。

设第一个总体的均值为 μ1，第二个总体的均值为 μ2，则有：

1） ，如果U < ? Uα，则拒绝H0；

2） ，如果U > Uα，则拒绝H0；

3） ，如果U > ? Uα/ 2，则拒绝H0。

应用举例

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下面是两种不同加工方式的菜粕在黄牛瘤胃内培养16h的干物质降解率，用曼-惠特尼U检验比较其有无差异：

两种加工方式的菜粕瘤胃培养16h的干物质降解率(%)

预压浸出组	等级排序	螺旋热榨组	等级排序
39.33	3	42.91	5
44.10	8	44.69	10
35.89	1	44.54	9
43.35	6	45.31	11
47.61	13	37.73	2
43.71	7	48.75	14
		46.71	12
		41.85	4

先按照大小顺序排列等级(见上表)，而后计算W1 = 38,W2 = 67,n1 = 6,n2 = 8。

假设两种菜粕的16h瘤胃干物质降解率除了平均水平以外在其它方面无差异，即检验：

H0：两种菜粕的16h瘤胃干物质降解率无差异；

H1：两种菜粕的16h瘤胃干物质降解率有差异。

计算U值：

U2值较小，选取U2与Uα(α=0.05)比较，通过查表(附表)可知Uα = 8,U2 > Uα，即接受H0，认为两种加工方式的菜粕瘤胃培养16h的干物质降解率无显著差异。

附表

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曼-惠特尼检验U的临界值表

（仅列出单侧检验在0.025或双侧检验在0.05处的U临界值）

 

n2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n1
1
2								0	0	0	0	1	1	1	1
3					0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5
4				0	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10
5			0	1	2	3	5	6	7	8	9	11	12	13	14
6			1	2	3	5	6	8	10	11	13	14	16	17	19
7			1	3	5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
8		0	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22	24	26	29
9		0	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26	28	31	34
10		0	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29	33	36	39
11		0	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33	37	40	44
12		1	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37	41	45	49
13		1	4	8	12	16	20	24	28	33	37	41	45	50	54
14		1	5	9	13	17	22	26	31	36	40	45	50	55	59
15		1	5	10	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59	64[2]

 

 

Nonparametric Comparison of Two Groups:
Mann–Whitney Test
If the measurement values from two groups are not normally distributed we have
to resort to a nonparametric test. The most common nonparametric test for the
comparison of two independent groups is the Mann–Whitney(–Wilcoxon) test.
Watch out, because this test is sometimes also referred to as Wilcoxon rank-sum
test. This is different from the Wilcoxon signed rank sum test! The test-statistic for
this test is commonly indicated with u:

u_statistic, pVal = stats.mannwhitneyu(group1, group2)

https://github.com/thomas-haslwanter/statsintro_python/tree/master/ISP/Code_Quantlets/08_Test
sMeanValues/twoGroups.

Code: “ISP_twoGroups.py”3: Comparison of two groups, paired and unpaired.