悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在,感恩生活--hdu2191(多重背包模板)
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题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191
标准的多重背包
题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
基本算法
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则有状态转移方程:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
复杂度是O(V*Σn[i])。
转化为01背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解:把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品,则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题,直接求解,复杂度仍然是O(V*Σn[i])。
但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想,我们考虑把第i种物品换成若干件物品,使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外,取超过n[i]件的策略必不能出现。
方法是:将第i种物品分成若干件物品,其中每件物品有一个系数,这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如,如果n[i]为13,就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <map> using namespace std; #define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) #define INF 0x3f3f3f3f #define N 2310 int c[N], w[N], k; void slove(int cost, int weight, int cnt)///二进制思想,把cnt分成1,2,4,8,16......存入c中和w中,//按01背包处理 { int m = 1; while( cnt >= m) { c[k] = m*cost; w[k++] = m*weight; cnt -= m; m = m*2; } if(cnt>0) { c[k] = cnt*cost; w[k++] = cnt*weight; } } int main() { int T, V, n; int cost, weight, cnt, dp[N]; scanf("%d", &T); while(T--) { met(dp, 0); met(c, 0); met(w, 0); k = 1; scanf("%d %d", &V, &n); for(int i=1; i<=n; i++) { scanf("%d %d %d", &cost, &weight, &cnt); slove(cost, weight, cnt); } for(int i=1; i<k; i++) { for(int j=V; j>=c[i]; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j-c[i]]+w[i]); } } printf("%d\n", dp[V]); } return 0; }
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