图论讲解——图基础

Posted 2020-09-18

前面一直在哔哔数论，是不是感觉很烦的慌了？？

╮(╯▽╰)╭唉，你不烦得慌我都烦得慌了！

既然这样，那我们就改个话题，今天我们就讲讲图论。

有的同学就要问图又是个什么鬼？

难道是这个吗？                                          还是这个？？？

哎呀，身为c++选手，我们肯定说的不是这些东西了对吧！

我们信息学上所说的图是指一个有序的二元组（V,E），V是顶点的集合，E是边的集合，E中的每一个元素都用一个二元组（x,y）来表示，其中x,y∈v。

这么说是不是有点太枯燥？

好，那我们下面来看一个我们所说的图。

有人又要说了：这是什么鬼，那么丑，这是个什么图？！

呵呵，很不幸，我们以后说的图都是这个那么恶心的东西。

one。图的相关概念：

有向图：图当中所有的边都是有向的，比如说：就表示1可以直接连接到达2，但2并不能直接到达1，除非有另一条边2——>1.

无向图：图当中的所有便都是无向的，也就是说如果v1可以到达v2的话，那么v2也一定能到达v1。

连通图：无向图中的两个点都是能相互到达的。

对于这个图来说他是个无向连通图。

这是个有向图。

自环：存在从一个点指向其自身的边称为一个自环。比如说存在一条边1——>1，那么这个图中存在自环。

重边：如果存在两条不同的边连接两个相同的节点（如果是有向图就要求起点相同，终点相同），那么这个图中就存在重边。

简单图：指不含有自环和重边的图。

无权图：图中的边没有权值。（如果指长度的话，则可以理解成权值均为1）

有权图：图中的边有权值。

 这就是个无权图。

 

而这是个有权图。

 

图的基本概念都明白了吧，那么，接下来，我们考虑如何存储一个图。

对于存储图，我们有两种常用的方法：

1.邻接矩阵；

2.邻接链表；

假设给出点数N，边数M，点的编号从1到N，每条边用(a,b)表示从点a到点b的有向边。

我们可以建一个N*N的二维数组，然后这个二维数组当中的元素Aij表示点i到点j是否有边，如果有边则记为1，没有边则记为0.

 

 

 

我们可以把以同一节点为起点的边通过一个链表联系起来。

也就是说，我们可以通过在每一个节点记录一个head[i]表示节点i对应的链表里面的头指针（“第一条边”），

然后在每一条边的信息当中我们记录next[j]表示这条边在链表当中所指的下一条边。

 

 

总的来说，图的存储结构主要是两种：

邻接矩阵

邻接链表

而对于两种存储方法的选择，则主要根据图的特点（稠密图还是稀疏图）来选择

当然在数据规模小的时候，采用邻接矩阵要更为简洁

还要看代码吗？？

好吧。

邻接矩阵：

#include<stdio.h>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 10000
using namespace std;
int e[N][N],vis[N];
int n,m,a,b,c;
void bfs(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(e[x][i]&&!vis[i])
         bfs(i);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);//n个点，m条边 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        e[a][b]=c;//有向边 
    }
    bfs(1);
    return 0;
}

邻接表：

#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100000
#define maxn 123456
using namespace std;
int m,n,x,y,z;
bool vis[N];
vector<pair<int,int> >vec[N];
void bfs(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(int i=0;i<vec[x].size();i++)
    {
        if(!vis[vec[x][i].first])
          bfs(vec[x][i].first);
    }
 } 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        vec[x].push_back(make_pair(y,z));
    }
    bfs(1);
    return 0;
 }