东南大学第十三届程序设计竞赛初赛题解

Posted 2020-09-17

问题 A: 天梯评分系统

题目描述

在一个下雨的日子，沈学姐和四个好基友约定无事一同打dota（dota是一个5对5的MOBA类游戏）因为想证明谁最NB，他们就全部注册新号去爬天梯了。天梯有一套完整的评分系统，它可以根据每位选手每局的数据进行评分，因为dota的英雄既有辅助又有ganker还有后期，所以不同的英雄的评分标准不一样。可惜那天天梯服务器维护，无法进行评分。于是，他们记录下每一局的数据，找你来帮忙，希望你能够帮他们仿照天梯编一个评分系统，以便于他们比较谁是真正的神牛。

已知对于每个账号每个英雄的初始积分都是1200分，并且该账号的天梯积分是所有使用过的英雄的积分的加权平均数（按次数加权，最终用整除）。每局一个英雄的数据包括主数据（杀敌/死亡/助攻）和附数据（破塔/正补/反补），你会得到所出现的英雄的主数据评分标准。此外还会根据附数据评出 MVP，英魂，富豪，破军，偏将，补王的称号，每个称号都有一个得分。而每局英雄的最终得分是由胜负、初始积分、主数据得分和附数据得分决定的。

主数据得分：每个英雄都有对应的 x,y,z 三个评分参数。主数据得分是：杀敌数*x+死亡数*y+助攻数*z

胜负得分：胜利不影响正常的分，失败方额外扣去 200 分；

附数据得分：MVP：胜利方主数据得分最高者获得 MVP，额外得到 20 分；英魂：失败方主数据得分最高者获得英魂，免去失败扣分；

以下称号仅胜利方获得：

富豪：每个正补得到 40 金钱，每个杀敌得到 250 金钱，每次死亡失去 100 金钱，每次破塔得到 450 金钱，每局游戏获得金钱最多者获得富豪，额外得到10 分；

破军：破塔最多者获得破军，额外得到 10分； 

偏将：助攻最多者获得偏将，额外得到 10 分；

补王：反补最多者获得补王，额外得到 10 分； 

最终得分=初始积分+主数据得分+附数据的分+胜负得分；

输入

第一行为一个整数T,代表有T组数据。

对于每组数据：

第一行一个整数 n (n<=15)，代表所要用到的 n 个英雄主数据评分标准；

第 2到n+1行，第i行三个整数 x,y,z（0<x,z<=10,-10<=y<0,x+z=10），代表编号为i-1的英雄的评分参数。

第 n+2 行一个整数 m (m<=5)，代表玩的局数，

n+3 行到第 n+m*6+3 行每 6 行为一组，共m组代表m局游戏，每组第一到第五行代表每局游戏第一个人到第五人的数据，每一行7个正整数，h代表此局该人使用的英雄编号，a,b,c,d,e,f（a,b,c<=20,d<=11,e,f<=100），代表杀敌/死亡/助攻/破塔/正补/反补，第六行一个数，0代表失败，1代表胜利。

输出

对于第i组数据先输出一行“Case #i:”(不含引号)

接下来输出五行，每行一个数，第i行为第i个人的最终天梯积分。

样例输入

1
5
8 -8 2
2 -3 8
9 -5 1
5 -5 5
4 -6 6
1
1 9 1 5 4 90 20
2 1 4 9 0 14 10
3 11 4 2 2 58 44
4 6 2 4 1 33 31
5 7 4 6 1 22 24
1

样例输出

Case #1: 
1294
1272 
1311 
1240 
1240

题解

模拟题。题目大意是说5个人开黑打dota，打了m盘，问每个人最终的天梯积分。

注意每个人的天梯积分是所有使用过的英雄的积分的加权平均数（按次数加权，最终用整除）。

设数组g[i][j]表示第i个人使用第j个英雄的英雄积分，cnt[i][j]表示第i个人使用第j个英雄的次数。

最终第i个人的积分为∑(g[i][j]*cnt[i][j])/∑cnt[i][j]。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <iostream>
 4 using namespace std;
 5  
 6 const int INF = 1e8;
 7  
 8 int g[6][16];
 9 int h[6],cnt[6][16];
10 int hero_x[15 + 5], hero_y[15 + 5], hero_z[15 + 5];
11  
12 int main()
13 {
14     int t;
15     cin >> t;
16     for (int i = 1; i <= t; i++)
17     {
18         int n;
19         cin >> n;
20         for (int j = 1; j <= 5; j++)
21             for (int k = 1; k <= n; ++k)
22             {
23                 g[j][k] = 1200;
24                 cnt[j][k] = 0;
25             }
26         for (int j = 1; j <= n; j++)
27         {
28             scanf("%d %d %d", &hero_x[j], &hero_y[j],&hero_z[j]);
29         }
30         int m;
31         cin >> m;
32         for (int k = 1; k <= m; ++k)
33         {
34             int max_main_g = -INF, max_main_w=-1;
35             int max_gold_g = -INF, max_gold_w = -1;
36             int max_pojun_g = -INF, max_pojun_w = -1;
37             int max_pianjiang_g = -INF, max_pianjiang_w = -1;
38             int max_buwang_g = -INF, max_buwang_w = -1;
39             for (int j = 1; j <= 5; j++)
40             {
41                 int a, b, c, d, e, f;
42                 scanf("%d %d %d %d %d %d %d", &h[j], &a, &b, &c, &d, &e, &f);
43                 cnt[j][h[j]]++;
44                 int main_g = a*hero_x[h[j]] + b*hero_y[h[j]] + c*hero_z[h[j]];
45                 g[j][h[j]] += main_g;
46                 if (main_g > max_main_g) max_main_g = main_g, max_main_w = j;
47                  
48                 int gold = 40 * e + 250 * a - 100 * b + 450 * d;
49                 if (gold > max_gold_g) max_gold_g = gold, max_gold_w = j;
50  
51                 if (d > max_pojun_g) max_pojun_g = d, max_pojun_w = j;
52  
53                 if (c > max_pianjiang_g) max_pianjiang_g = c, max_pianjiang_w=j;
54  
55                 if (f > max_buwang_g) max_buwang_g = f, max_buwang_w = j;
56             }
57             int isWin;
58             cin >> isWin;
59             if (isWin == 1)
60             {
61                 g[max_gold_w][h[max_gold_w]] += 10;
62                 g[max_pojun_w][h[max_pojun_w]] += 10;
63                 g[max_pianjiang_w][h[max_pianjiang_w]] += 10;
64                 g[max_main_w][h[max_main_w]] += 20;
65                 g[max_buwang_w][h[max_buwang_w]] += 10;
66             }
67             else
68             {
69                 for (int j = 1; j <= 5; j++)
70                     g[j][h[j]] -= 200;
71                 g[max_main_w][h[max_main_w]] += 200;
72             }
73         }
74         printf("Case #%d:\n", i);
75         for (int j = 1; j <= 5; j++)
76         {
77             int sum = 0, sum_cnt = 0;
78             for (int k = 1; k <= n; ++k)
79             {
80                 sum += cnt[j][k] * g[j][k];
81                 sum_cnt += cnt[j][k];
82             }
83             cout << sum / sum_cnt << endl;
84         }
85     }
86     return 0;
87 }

问题 B: 三体问题

题目描述

沈学姐是一个科幻小说爱好者，最近她读了《三体》，喜欢数学的学姐对三体问题产生了兴趣。当然，学姐并不想去算某颗行星的轨道。

她把整个三体星系简化为一个平面，三颗恒星的球心投影成平面上的三点，每颗恒星都有一个半径为r的圆形引力场(r由恒星自身属性决定)。学姐想知道，三颗恒星的引力场总面积是多少。 

输入

第一行为一个整数T，表示数据组数。

每组数据有三行输入：

每行有三个数x,y,r（保留两位小数），分别为该恒星中心坐标(x,y)和引力场半径r。

(|x|<=5,|y|<=5,0<=r<=5)

输出

对于第i组数据，输出一行，形如“Case #i: ans”（不含引号）

其中，ans表示引力场总面积，保留整数部分(因为学姐不想太难)。

样例输入

2
0.00 0.00 1.00
0.00 2.00 1.00
2.00 0.00 1.00
0.00 0.00 5.00
1.00 1.00 2.22
2.00 0.00 1.00

样例输出

Case #1: 9
Case #2: 79

题解

本题约束输出整数，意味着可以小步长step枚举点，判断点是否在圆内，若在则累加面积step*step。

此问题的一般形式：圆的面积并问题，使用辛卜生求积公式，代码转自->这里

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cmath>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 using namespace std;
  7 
  8 #define ld double
  9 #define eps 1e-13
 10 
 11 int n,top,st,ed;
 12 ld xl[1001],xr[1001];
 13 ld ans;
 14 bool del[1001];
 15 
 16 struct data{ld x,y,r;}t[1001],sk[1001];
 17 struct line{ld l,r;}p[1001];
 18 
 19 ld dis(data a,data b)
 20 {return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}
 21 
 22 bool cmp1(data a,data b){return a.r<b.r;}
 23 
 24 bool cmp2(data a,data b){return a.x-a.r<b.x-b.r;}
 25 
 26 bool cmp3(line a,line b){return a.l<b.l;}
 27 
 28 void ini()
 29 {
 30     memset(del,0,sizeof(del));
 31     n=3;
 32     for(int i=1;i<=n;i++)
 33        {scanf("%lf%lf%lf",&t[i].x,&t[i].y,&t[i].r);}
 34    sort(t+1,t+n+1,cmp1);
 35    for(int i=1;i<=n;i++)
 36       for(int j=i+1;j<=n;j++)
 37          if(dis(t[i],t[j])<=t[j].r-t[i].r)
 38                {del[i]=1;break;}
 39    for(int i=1;i<=n;i++)if(!del[i])sk[++top]=t[i];n=top;
 40    sort(sk+1,sk+n+1,cmp2);
 41 }
 42 
 43 ld getf(ld x)
 44 {
 45     int sz=0,i,j;ld r,len=0,dis;
 46     for(i=st;i<=ed;i++)
 47    {
 48        if(x<=xl[i]||x>=xr[i])continue;
 49        dis=sqrt(sk[i].r-(x-sk[i].x)*(x-sk[i].x));
 50        p[++sz].l=sk[i].y-dis;p[sz].r=sk[i].y+dis;
 51    }
 52     sort(p+1,p+sz+1,cmp3);
 53     for(i=1;i<=sz;i++)
 54     {
 55         r=p[i].r;
 56         for(j=i+1;j<=sz;j++)
 57         {
 58             if(p[j].l>r)break;
 59             if(r<p[j].r)r=p[j].r;
 60         }
 61         len+=r-p[i].l;i=j-1;
 62     }
 63     return len;
 64 }
 65 
 66 ld cal(ld l,ld fl,ld fmid,ld fr)
 67 {return (fl+fmid*4+fr)*l/6;}
 68 
 69 ld simpson(ld l,ld mid,ld r,ld fl,ld fmid,ld fr,ld s)
 70 {
 71     ld m1=(l+mid)/2,m2=(r+mid)/2;
 72     ld f1=getf(m1),f2=getf(m2);
 73     ld g1=cal(mid-l,fl,f1,fmid),g2=cal(r-mid,fmid,f2,fr);
 74     if(fabs(g1+g2-s)<eps)return g1+g2;
 75    return simpson(l,m1,mid,fl,f1,fmid,g1)+simpson(mid,m2,r,fmid,f2,fr,g2);
 76 }
 77 
 78 void work()
 79 {
 80     int i,j;ld l,r,mid,fl,fr,fmid;
 81     for(i=1;i<=n;i++){xl[i]=sk[i].x-sk[i].r;xr[i]=sk[i].x+sk[i].r;sk[i].r*=sk[i].r;}
 82     for(i=1;i<=n;i++)
 83     {
 84         l=xl[i];r=xr[i];
 85         for(j=i+1;j<=n;j++)
 86         {
 87             if(xl[j]>r)break;
 88          if(xr[j]>r)r=xr[j];
 89         }
 90         st=i;ed=j-1;i=j-1;
 91       mid=(l+r)/2;
 92       fl=getf(l);fr=getf(r);fmid=getf(mid);
 93       ans+=simpson(l,mid,r,fl,fmid,fr,cal(r-l,fl,fmid,fr));
 94     }
 95 }
 96 
 97 int main()
 98 {
 99     int T;
100     cin>>T;
101     for(int i=1;i<=T;++i)
102     {
103         ini();
104         work();
105         printf("Case #%d: %.0f\n",i,ans);
106         ans=top=st=ed=0;
107     }
108     return 0;
109 }

问题 C: 男票管理系统

签到题，略。

 1 #include<iostream>
 2 #include<vector>
 3  
 4 using namespace std;
 5  
 6 int bf[2000];
 7 int s = 0;
 8  
 9 void init()
10 {
11     for (int i = 0; i < 2000; ++i)
12     {
13         bf[i] = 0;
14     }
15 }
16  
17 long long calc()
18 {
19     long long ans = 0;
20     for (int i = 0; i < s; ++i)
21     {
22         for (int j = i + 1; j < s; ++j)
23         {
24             if (bf[j] > bf[i])
25             {
26                 ++ans;
27             }
28         }
29     }
30     return ans;
31 }
32  
33 int main()
34 {
35     int num = 0;
36     cin >> num;
37     vector<long long> ans;
38     for (int i = 0; i < num; ++i)
39     {
40         init();
41         cin >> s;
42         for (int j = 0; j < s; ++j)
43         {
44             cin >> bf[j];
45         }
46  
47         ans.push_back(calc());
48     }
49     int i = 1;
50     for (auto t = ans.begin(); t != ans.end(); ++t)
51     {
52         cout << "Case #" << i++ << ": " << *t << endl;
53     }
54     return 0;
55 }

 

问题 D: 男票的名字

二分+hash

问题 E: 学姐招亲

暂无思路。

问题 F: 学姐护卫队

树状数组

问题 G: 礼物分配

暂无思路。

问题 H: 学姐的树

基于期望的DP

问题 I: 谁是卧底

并查集裸题，略。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <iostream>
 4 using namespace std;
 5  
 6 int f[2010];
 7  
 8 int find(int x)
 9 {
10     int r = x;
11     while (f[r] != r)
12         r = f[r];
13  
14     int i = x, j;
15     while (i != r)
16     {
17         j = f[i];
18         f[i] = r;
19         i = j;
20     }
21     return r;
22 }
23  
24  
25 void join(int x, int y)
26  
27 {
28     int fx = find(x), fy = find(y);
29     if (fx != fy)
30         f[fx] = fy;
31 }
32  
33 int main()
34 {
35     int t;
36     cin >> t;
37     for (int i = 1; i <= t; ++i)
38     {
39         int n, m;
40         scanf("%d %d", &n, &m);
41         for (int j = 1; j <= n; ++j)
42             f[j] = j;
43         f[2001] = 2001;
44         f[2002] = 2002;
45         f[2003] = 2003;
46         for (int j = 1; j <= m; j++)
47         {
48             int k, x, y;
49             scanf("%d %d %d", &k, &x, &y);
50             if (k == 1)
51             {
52                 join(x, y);
53             }
54             else
55             {
56                 join(x, 2000 + y);
57             }
58         }
59         int flag = 0;
60         for (int j = 1; j <= n; ++j)
61         {
62             int fa = find(f[j]);
63             if (!(fa == find(2001) || fa == find(2002) || fa == find(2003)))
64             {
65                 flag = 1;
66                 break;
67             }
68         }
69         if (flag == 0)
70         {
71             printf("Case #%d: YES\n", i);
72         }
73         else
74         {
75             printf("Case #%d: NO\n", i);
76         }
77     }
78     return 0;
79 }

问题 J: 去吧贝塔

分类讨论题

问题 K: 反立方数

题目描述

立方数是形如x3的数，如1，8，27...

定义反立方数为：所有非1因子中不含有立方数的数。

学姐想知道在区间[L,R]中，所有反立方数的平方和。

由于答案可能很大，输出结果对19260817的取模即可。

输入

第一行一个整数T，表示有T组数据。

接下来T行：

每行为两个整数L,R。(1<=L<=R<=10^18)

输出

对每组数据输出一行，形如”Case #i: ans”(不含引号)

ans为区间[L,R]中所有反立方数的平方和

样例输入

2
1 5
1 10

样例输出

Case #1: 55
Case #2: 321

题解

容斥原理。

预处理10^6以内的质数，作为立方数的原数。

暴力搜索10^6以内质数的组合，注意保证没有重复的数字，比如2*2不合法，因为2*2的倍数包含在2的倍数里；以及重复的组合，比如2*3*5和3*2*5是重复的。

设sum=(1^3)^2+(2^3)^2+...+(n^3)^2

设cnt为立方数的平方和。对于枚举到的素数组合，若组合数的个数为奇数，则cnt加上该组合数所有倍数的平方和，用平方和公式计算；若为偶数，则减去。

根据容斥原理，n以内的反立方数的平方和ans=sum-cnt。

答案为ans(r)-ans(l-1)。

需要注意MOD的使用，很容易遗漏MOD导致爆long long。

另外程序中会用到(A/B)%MOD,根据费马小定理，(A/B)%MOD=A*B^(MOD-2)。