codeforces 509 D. Restoring Numbers（数学+构造）

Posted 2020-09-17 Gealo

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/509/D

题意：题目给出公式w[i][j]= (a[i] + b[j])% k; 给出w,要求是否存在这样的数列，若存在则求出a,b 和k

 

题解：如果有符合条件的点的话那么a[i],b[j]可以任意转换比如说a[i],b[j]可以转化为a[i]-p,b[i]+p。所以只要存在

符合条件的解的a[i]可以为任意值。也就是说a[i]可以先赋值为0然后其他就都可以推出来了，当然开始推出后会发现

有负的，没事，还要模一个k，接下来就要验证是否存在k。

不妨设e[i][j]=abs(a[i]+b[j]-w[i][j])显然要使e[i][j]为0才能符合条件，所以要使e[i][j]%k=0。求一下所有e[i][j]

的gcd得出一个g。显然g就是k。如果g为0肯定存在而且k取最大值+1，否则，判断g是不是大于所有的w[i][j]，如果是

那么k存在为最大值+1，不然不存在。

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf = 1e18;
ll a[200] , b[200] , w[200][200] , e[200][200];
ll gcd(ll x , ll y) {
    return (y > 0) ? gcd(y , x % y) : x;
}
int main() {
    int n , m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
        for(int j = 0 ; j < m ; j++) {
            cin >> w[i][j];
        }
    }
    a[0] = 0;
    for(int j = 0 ; j < m ; j++) {
        b[j] = w[0][j] - a[0];
    }
    for(int j = 1 ; j < n ; j++) {
        a[j] = w[j][0] - b[0];
    }
    ll gg = a[0] + b[0] - w[0][0];
    for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
        for(int j = 0 ; j < m ; j++) {
            e[i][j] = abs(a[i] + b[j] - w[i][j]);
            gg = gcd(gg , e[i][j]);
        }
    }
    ll k = 0;
    if(gg == 0) {
        for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
            for(int j = 0 ; j < m ; j++) {
                k = max(k , w[i][j] + 1);
            }
        }
        cout << "YES" << endl;
        cout << k << endl;
        for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
            if(a[i] < 0) {
                cout << w[i][0] + k - b[0] << ‘ ‘;
            }
            else {
                cout << a[i] << ‘ ‘;
            }
        }
        cout << endl;
        for(int i = 0 ; i < m ; i++) {
            cout << b[i] << ‘ ‘;
        }
        cout << endl;
    }
    else {
        int flag = 0;
        for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
            for(int j = 0 ; j < m ; j++) {
                if(gg <= w[i][j]) {
                    flag = 1;
                    break;
                }
            }
        }
        if(flag) {
            cout << "NO" << endl;
        }
        else {
            cout << "YES" << endl;
            cout << gg << endl;
            for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
                cout << w[i][0] + gg - b[0] << ‘ ‘;
            }
            cout << endl;
            for(int i = 0 ; i < m ; i++) {
                cout << b[i] << ‘ ‘;
            }
            cout << endl;
        }
    }
    return 0;
}