平均查找长度可以是小数吗

Posted 2023-04-25

参考技术A 查找长度（平均查找长度）和时间复杂度表示的是一个意思，相同的查找长度和时间复杂度处于一个量级。

而所谓的查找长度就是在查找运算中需要对比关键字的次数。

1. 平均查找长度（ASL）

在这里插入图片描述

pi 是查找到某个元素的概率（probability）
ci 是查找到这个元素时已经比较的次数，如，查找在 10 个数中查找第 5 个数，其比较的次数是多少（包括和第 5 个数比较的次数） 参考技术B 对于含有n个数据元素的查找表，查找成功的平均查找长度为：ASL=∑PiCi (i=1,2,3,…,n),可以简单以数学上的期望来这么理解。其中：Pi 为查找表中第i个数据元素的概率，Ci为找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

二分查找的平均查找长度详解

来源：http://blog.csdn.net/turne/article/details/50488378

看数据结构书的时候碰上的内容，我自己将它化成关于级数的题，然后自己算的过程，基本就是等比级数和等差级数的混合内容。

满二叉树来分析折半查找的平均长度

 

h=层高 n=节点数

[]为计算过程的式

 

先算总查找次数

1*1+2*2+3*4+4*8...(h-1)*2^(h-2)+h*2^(h-1)  ………………[1]

 

[1]*2:

 

1*2+2*4+3*8+4*16...(h-1)*2^(h-1)+h*2^h  ……………………[2]

 

[2]-[1]:

[1]*2-[1]=[3]:

[1]=[3]:

 

-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1)+h*2^h  ……………………… [3]

 

[4]+h*2^h=[3]…………………………………………………………………………[3.1]

 

-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1) ……………………………………… [4]

 

[4]*2-[4]=[5]=[4]

 

-2^h+1  …………………………………………………………………………………… [5]

 

因为[5]=[4]，所以把[5]代入[3.1]可以得到下面的结果

[3]=[5]+h*2^h  =  -2^h+1+h*2^h=(h-1)*2^h+1

 

由于 (n+1=2^h)，所以有

 

[3]=(n+1)log(n+1)-(n+1)+1

    =(n+1)log(n+1)-n

 

最后，来求查找次数平均数

[3] /n = ((n+1)log(n+1)-n)/n

         

最终，平均查找长度约等于log(n+1)-1

 

上面的所有对数log的底数皆为2.