codeforces 798C.Mike and gcd problem 解题报告

Posted 2020-09-17 windysai

题目意思：给出一个n个数序列：a1,a2,...,an （n的范围[2,100000]，ax的范围[1,1e9]

然后想构造一个beautiful的序列 b1,b2, ..., bn，使得最大公约数 gcd(b1,b2,...,bn) > 1。任意ai，ai+1 可以用 ai-ai+1, ai+ai+1 来替换。

问序列 a 构造成 b 的最小操作次数

 

　　首先，这个题目是肯定有解的，也就是恒输出yes

     试想一下，相邻两个数之间无非就是四种情况：

     （1）对于同偶情况，不需要做转换，公约数直接为2；

     （2）对于同奇情况，只需要变换一次，两奇数进行加减操作，最终结果是偶数，公约数此时为2

　　（3）一奇一偶，变换两次： ai, ai+1 ——》 ai-ai+1, ai+ai+1  ——》2（ai+1，ai） ——》 公约数为2

　　此时问题就变成： 构造一个所有序列的公约数为2的最少操作次数。

      当然，在处理序列之前，先判断整个序列是不是已经有公约数了（注意，并不一定为2）

 

两种方法

方法一 ：常规贪心+数论

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn = 1e5 + 5;
 8 int a[maxn];
 9 
10 int GCD(int b1, int b2)
11 {
12     if (b2 == 0)
13         return b1;
14     return GCD(b2, b1%b2);
15 }
16 
17 int main()
18 {
19     #ifndef ONLINE_JUDGE
20         freopen("in.txt", "r", stdin);
21     #endif // ONLINE_JUDGE
22 
23     int n;
24     while (scanf("%d", &n) !=EOF) {
25        scanf("%d", &a[0]);
26        int t=a[0], cnt = 0;
27        for (int i = 1; i < n; i++) {
28         scanf("%d", &a[i]);
29         t = GCD(t, a[i]);
30         if (t > 1) { cnt++; }
31        }
32        printf("YES\n");
33        if ( cnt == n-1 ) { printf("0\n"); }  // all is even
34        else {
35             // scan two times;
36             int ans = 0;
37             for (int i = 0; i < n; i++) {
38                 if (a[i]%2 && a[i+1]%2 && i+1 < n) {  // two odd
39                     ans += 1;
40                     a[i] = 2;
41                     a[i+1] = 2;
42                 }
43             }
44 
45             for (int i = 0; i < n; i++) {
46                 if (i+1 < n && (a[i]%2 && a[i+1]%2 == 0)|| (a[i]%2 == 0 && a[i+1]%2) ) {   // one odd one even
47                     ans += 2;
48                     a[i+1] = 2;
49                 }
50             }
51             printf("%d\n", ans);
52        }
53     }
54     return 0;
55 }

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方法二：dp

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int inf = 10000000;
 8 const int maxn = 1e5 + 5;
 9 int a[maxn];
10 // dp[i][0]： 前i-1个数为偶数，第i个数为偶数的最少操作次数
11 // dp[i][1]:  前i-1个数为偶数，第i个数为奇数的最少操作次数
12 int dp[maxn][2];
13 
14 int GCD(int b1, int b2)
15 {
16     if (b2 == 0)
17         return b1;
18     return GCD(b2, b1%b2);
19 }
20 
21 int main()
22 {
23     #ifndef ONLINE_JUDGE
24         freopen("in.txt", "r", stdin);
25     #endif // ONLINE_JUDGE
26 
27     int n;
28     while (scanf("%d", &n) !=EOF) {
29        scanf("%d", &a[0]);
30        int t=a[0], cnt = 0;
31 
32        for (int i = 1; i < n; i++) {
33             scanf("%d", &a[i]);
34             t = GCD(t, a[i]);
35             if (t > 1) { cnt++; }
36        }
37        printf("YES\n");
38        if ( cnt == n-1 ) { printf("0\n"); }  // all 有公约数
39 
40        else {
41             memset(dp, 0, sizeof(dp));
42             dp[0][!(a[0]%2)] = inf;
43 
44             for (int i = 1; i < n; i++) {
45                 if (a[i]%2) {     // odd
46                     dp[i][0] = min(dp[i-1][0]+2, dp[i-1][1]+1);
47                     dp[i][1] = min(dp[i-1][0], inf);
48                 }
49                 else {
50                     dp[i][0] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+2);
51                     dp[i][1] = inf;
52 
53                 }
54             }
55             printf("%d\n", dp[n-1][0]);
56        }
57     }
58     return 0;
59 }

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