一道小题

Posted 2020-09-17 望山海

题目：计算1³+2³+3³+……+(n-1)³+n³.

这个式子一般的解法，应当是用循环的方式：先算1³，再算2³，相加，再算3³，相加……算出结果。

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 public class CalculateCube {
 4     public static long cube(int number) {
 5         int retnum = 0;
 6         for(int num =1; num<=number;num++) {
 7             retnum += num*num*num;
 8         }
 9         return retnum;
10     }
11     public static void main(String[] args) {
12         Scanner input = new Scanner(System.in);
13         int number = input.nextInt();
14         long result = cube(number);
15         System.out.println("所求结果为" +result);
16      }
17 }

不过这个计算方法虽然电脑可以执行，但人不行。而利用数学归纳法可以将上式简化为：(1+2+3+……+n)^2 或 n²(n+1)²/4.

     当n=1时，1²(1+1)²/4=1=1³.

     假设n=k时成立，要证n=(k+1)时也成立，则当n=(k+1)时：

          1³+2³+3³+……+k³+(k+1)³=[k²(k+1)²/4]+(k+1)³

                                                 =[k²(k+1)²/4]+[4(k+1)(k+1)²/4]

                                                 =(k²+4(k+1))(k+1)²/4

                                                 =(k+2)²(k+1)²/4

                                                 =(k+1)²[(k+1)+1]²/4.

    所以1³+2³+3³+……+(n-1)³+n³=n2(n+1)2/4.

import java.util.Scanner;

public class CalculateCube {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int num = input.nextInt();
        int num1 = num+1;
        long result = (num*num*num1*num1) / 4;
        System.out.println("所求结果为" +result);
    }
}