树讲解——联合权值

Posted 2020-09-17

洛谷——1351 联合权值

题目描述

无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv 的联合权值。

请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件名为link .in。

第一行包含1 个整数n 。

接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。

最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。

 

输出格式：

 

输出文件名为link .out 。

输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值

和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5  
1 2  
2 3
3 4  
4 5  
1 5 2 3 10 

输出样例#1：

20 74

说明

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；

对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；

对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。

思路：

看到这个题的第一想法是：搜索！

No，超时！！

所以在这里我们使用另一种思路。

我们可以发现对于任意一个点，与它相连的两个点都满足条件。

so,我们在求最大值的时候，对一个点进行查找，对这个点找出与他相连的最大值和次大值，这两个值相乘，然后再对每一个点的联合权值跑一遍循环，这样我们就能求出最大的联合权值了！

这样做的依据是：我们要求联合权值，由于以每一个点为中点的两个点，即这个点相连的两个点必定为相距的距离为2.

所以，我们只要求每一个点相连的最大值与次大值相乘，得到的就是以这个点为中点的最大联合权值。

在求联合权值的和时，我们可以发现一个规律，对于任意一个点，以这个点为中点的联合权值的和

这个点的权值*sum，这里的sum存的是每一次访问的vec[x][i]，因为每次都把与这个点相连的点都乘起来然后再相加，就等于把这个点与他相邻（距离为2）的先加起来在相乘。

那最后的结果就是把每次的每个点的联合权值和加起来。

注意：

最后要乘2！！！！因为，我们储存的图是无向图，他有来回的两条相同的边！

代码：

#include<vector>
#include<stdio.h>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 200001 
#define mod 10007
using namespace std;
vector<int>vec[N];
int n,m,x,y,vis[N],maxn,w[N],sum;
void dfs(int x)
{
    int max1=0,max2=0,ans=0;
    for(int i=0;i<vec[x].size();i++)
    {
        if(w[vec[x][i]]>max1) 
        {
            max2=max1;
            max1=w[vec[x][i]];
        }
        else
        {
            if(w[vec[x][i]]>max2)
               max2=w[vec[x][i]];
        }    
        sum=(sum+w[vec[x][i]]*ans)%mod;
        ans=(ans+w[vec[x][i]])%mod;
    }
    maxn=max(maxn,max1*max2);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        vec[x].push_back(y);
        vec[y].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
     scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dfs(i);
    printf("%d %d",maxn,sum*2%mod);
    return 0;
}