NOIP2012提高组 Day 2 Problem 2 借教室

Posted 2020-09-17

原题

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题目描述

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来n天的借教室信息，其中第i天学校有ri个教室可供租借。共有m份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为dj,sj,tj，表示某租借者需要从第sj天到第tj天租借教室（包括第sj天和第tj天），每天需要租借dj个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提

供dj个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第sj天到第tj天中有至少一天剩余的教室数量不足dj个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个正整数n,m，表示天数和订单的数量。

第二行包含n个正整数，其中第i个数为ri，表示第i天可用于租借的教室数量。

接下来有m行，每行包含三个正整数dj,sj,tj，表示租借的数量，租借开始、结束分别在

第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从1开始的整数编号。

输出格式：

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 0。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数-1，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

输入输出样例

输入：

4 3 
2 5 4 3 
2 1 3 
3 2 4 
4 2 4

输出：

-1 
2

数据范围

对于10%的数据，有1≤ n,m≤ 10；

对于30%的数据，有1≤ n,m≤1000；

对于 70%的数据，有1 ≤ n,m ≤ 10^5；

对于 100%的数据，有1 ≤ n,m ≤ 10^6,0 ≤ ri,dj≤ 10^9,1 ≤ sj≤ tj≤ n。

思路

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看到数据范围，显然需要至少O(nlog₂m)的解法。

最朴素的做法是一个个订单地枚举、循环，从si到ti已用天数wi加上di，发现冲突(wi>ri)就输出。复杂度O(mn)，无法接受。

对于区间增加值，可以用线段树或者差分解决。考虑到单点查询的复杂度与修改复杂度，这里选择差分。

对于检查前i个订单是否有冲突，可以将它们全部累加，最后查询是否有一天供不应求，如果有就说明需要修改订单。

这题中很重要的一个点是先到先得，显然若前i个订单中有冲突，则需要修改订单的负责人肯定在1~i之间；否则如果有冲突，则需要修改订单的人一定在i+1~n之间。

于是，二分的思想就浮出了水面，时间复杂度O(nlog₂m)。

代码

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #define N 1000010
 4 int n,m,x[N],a[N],s[N],t[N],c[N];
 5 //ci表示第i天借教室的数目(差分、原始序列) 
 6 bool ok(int m) {//判断前m个订单会不会产生冲突 
 7     memset(c,0,sizeof(c));
 8     for(int i=1;i<=m;++i) {
 9         c[s[i]]+=a[i];
10         c[t[i]+1]-=a[i];
11     }//差分部分 
12     for(int i=1;i<=n;++i) if((c[i]+=c[i-1])>x[i]) return 0;
13     //根据差分构造原序列，判断有没有冲突 
14     return 1;
15 }
16 int main() {
17     scanf("%d%d",&n,&m);
18     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",x+i);
19     for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",a+i,s+i,t+i);
20     int l=1,r=m,mid;//二分部分 
21     while(l<r) {
22         mid=(l+r)/2;
23         if(ok(mid)) l=mid+1;//如果1~i可以满足，则需要修改订单的负责人（如果有）在i之后 
24         else r=mid;//否则肯定有，在i或i前 
25     }
26     //也可以先判断所有的订单是否会产生冲突 
27     if(r!=m) printf("-1\n%d",r);//有冲突 
28     else puts("0");//所有订单均可满足 
29     return 0;
30 }

 对于先判断会不会产生冲突的步骤，main代码如下：

 1 int main() {
 2     scanf("%d%d",&n,&m);
 3     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",x+i);
 4     for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",a+i,s+i,t+i);
 5     if(ok(m)) {
 6         puts("0");
 7         return 0;
 8     }
 9     int l=1,r=m-1,mid;//二分部分 
10     while(l<r) {
11         mid=(l+r)/2;
12         if(ok(mid)) l=mid+1;
13         else r=mid;
14     }
15     printf("-1\n%d",r);
16     return 0;
17 }