辗转相除法的原理

Posted 2020-09-16 小胡噜鱼

今天我思考了辗转相除法的原理，在此记录下来；

1，先介绍一下辗转相除法，这是为了求两个数的最大公约数的方法；如果有两个数a,b；且a>b,设a/b商q余c,则a和b的最大公约数也是b和c的最大公约数。这样辗转相除，直到余数为0时除式的商（也就相当于a/b时c那个位置的数字）即为最大公约数；

2，首先证明公约数。如果a和b有公约数x,令a = xm;b = xn,则c = pa±qb = pxm±qxn = x（pm±qn）也能够整除x，即c和a、b有公约数x;

3，证明b、c的最大公约数即为a、b的最大公约数。

　　设a = kb +c。

　　设a和b的最大公约数是x;设b和c的最大公约数是y;

　　b和c的最大公约数y也是a、b的公约数(证明见第二条)。

　　因为x是a、b的最大公约数，则y肯定是x的因数（如果有质疑请亲自尝试，因为忘记的知识太多了）。

　　上面式子变形得c = a-kb ,则a、b的最大公约数x也是b和c的公约数。

　　因为y是b、c的最大公约数，则x肯定是y的因数

　　y是x的因数，x也是y的因数，那可以证明x=y;

　　即b、c的最大公约数即为a、b的最大公约数。