Codeforces Gym101341K：Competitions（DP）

Posted 2020-09-16 Shadowdsp

http://codeforces.com/gym/101341/problem/K

题意：给出n个区间，每个区间有一个l, r, w,代表区间左端点右端点和区间的权值，现在可以选取一些区间，要求选择的区间不相交，问最大的权和可以是多少，如果权和相同，则选区间长度最短的。要要求输出区间个数和选了哪些区间。

思路：把区间按照右端点排序后，就可以维护从左往右，到p[i].r这个点的时候，已经选择的最大权和是多少，最小长度是多少，区间个数是多少。

因为可以二分找右端点小于等于当前区间的左端点的某个区间（index），然后就有

dp[i] = max(dp[index] + w[index], dp[i]).

这题的我觉得困难的是打印使用了哪些区间，一开始想的方法超时了。

因为用pre数组记录路径，但是路径只是代表当前的解从哪里更新过来的，而不能记录是由哪一个点推出新的最优解。

一开始我用了一个bool型的vis数组判断是否在第i个点更新的答案，然后每次往前找，这样最坏会达到O（n^2）。

但是这样肯定扫了很多重复的情况，因此还可以用递推来构造vis数组，代表当前这个解最后使用了哪一个区间推出来。pre数组也使用递推的形式。

每次如果更新的了，就vis[i] = i，pre[i] = index，否则就vis[i] = vis[i-1], pre[i] = pre[i-1]。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 #define N 200010
 5 #define INF 0x3f3f3f3f
 6 struct node {
 7     int l, r, w, id;
 8     bool operator < (const node &rhs) const {
 9         if(r != rhs.r) return r < rhs.r;
10         return l < rhs.l;
11     }
12 } p[N];
13 LL dp[N], len[N];
14 int tol[N], pre[N], vis[N];
15 vector<int> ans;
16 // vis表示新的DP答案由哪个推出来的
17 // pre表示当前这个点可以由哪一个点跳过来
18 // dp[i]表示到第i个右端点的时候最大权和
19 // len[i]表示到第i个右端点的时候最小长度
20 // tol[i]表示区间个数
21 
22 int main() {
23     int n; scanf("%d", &n);
24     for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d", &p[i].l, &p[i].r, &p[i].w), p[i].id = i;
25     sort(p + 1, p + 1 + n);
26     for(int i = 1; i <= n; i++) {
27         dp[i] = dp[i-1], len[i] = len[i-1], tol[i] = tol[i-1], pre[i] = pre[i-1], vis[i] = vis[i-1];
28         node now = (node) { INF, p[i].l, 0, 0 };
29         int index = upper_bound(p + 1, p + n + 1, now) - p - 1;
30 //        while(!vis[index] && index) index--;
31         if(dp[index] + p[i].w > dp[i]) {
32             dp[i] = dp[index] + p[i].w;
33             len[i] = len[index] + p[i].r - p[i].l;
34             tol[i] = tol[index] + 1;
35             pre[i] = index; vis[i] = i;
36         } else if(dp[index] + p[i].w == dp[i] && len[index] + p[i].r - p[i].l < len[i]) {
37             len[i] = len[index] + p[i].r - p[i].l;
38             tol[i] = tol[index] + 1;
39             pre[i] = index; vis[i] = i;
40         }
41 //        printf("index : %d %d %d %d %lld\n", p[i].id, p[vis[i]].id, p[index].id, p[pre[i]].id, dp[i]);
42     }
43     int ed = n;
44     while(ed) { ans.push_back(p[vis[ed]].id); ed = pre[ed]; }
45     sort(ans.begin(), ans.end());
46     printf("%d %lld %lld\n", tol[n], dp[n], len[n]);
47     for(int i = 0; i < ans.size(); i++) printf("%d%c", ans[i], i + 1 == ans.size() ? ‘\n‘ : ‘ ‘);
48     return 0;
49 }