Chapter 1. 数学基础 数论

Posted 2020-09-16

                                  Chapter 1. 数学基础 数论(一)

 

 

Sylvia‘s I. 欧几里得算法.

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数（gcd）. 

内容：gcd(a,b) = gcd(b,a%b).

证明：设a=kb+r , 则r=a%b；

        ①设d为a,b的公约数，则有d|a , d|b;

           且r=a-kb,故d|r;

           所以d也是b , a%b的公约数。

        ② 设d 是b,a mod b的公约数，则 d|b , d|r ，
            因a = kb +r； 
            所以d也是a , b的公约数

        故a , b和b , a mod b的公约数是相同的，因此最大公约数也必然相同。

性质：

①gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

②gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m 

③gcd(ma,mb)=m*gcd(a,b) 

代码:

int gcd(int a,int b){
   if (!b) return a;
   return (b,a%b);
}

 

 

 Sylvia‘s Ⅱ.扩展欧几里德.

 内容：给出 a 和 b，解方程 ax+by=gcd(a,b)

 思想：

         ①求其中一解x,y

 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

 ax+by=gcd(a,b) 

 bx‘+(a%b)y‘=gcd(b,a%b)

 ax+by=bx′+(a%b)y′  （a%b<=>a-[a/b]*b） 

 ax+by=bx′+(a??a/b??b)y′

 ax+by=ay′+b(x′??a/b??y′) 

故x=y′, y=x′??a/b??y′

边界条件为 gcd(a,0)=a;

   ②对于其通解，设已求得的一组解为（x₀,y₀）,其他解（x,y）

       有ax₀+by₀=ax+by     （都等于gcd(a,b)）

变形得a(x₀-x)=b(y-y₀) 两边同除gcd(a,b)

设a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b)

则 a‘(x₀-x)=b‘(y-y₀)  此时a‘和b‘必然互质，因此（x₀-x）是b‘的倍数，设（x₀-x）=kb‘ 代入得 y=y₀+a‘k

同理，(y-y₀)是a‘的倍数，设（y-y₀）=ka‘ 代入得 x=x₀-b‘k

所以对于方程ax+by=gcd(a,b)的任意整数解可以写成  

x=x₀-k*b/gcd(a,b)

y=y₀+k*a/gcd(a,b)  k取任意整数.

注：①推导过程并未用到“ax+by的右边是什么”

     ②如果gcd(a,b)=0,则意味着a或b等于0，可以特判

代码：

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    } 
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

 

 

Sylvia‘s Ⅲ. 模运算.

公式：①(a+b) % p=((a % p) + (b % p)) % p

        ②(a-b) % p = ((a % p) - (b % p)+p) % p 

  ③(a*b) % p = (a % p) * (b % p) % p 

注意：对于公式②，由于(a % p)可能小于(b % p)，所以需要在结果上加上p.

        对于公式③，需要注意(a % p) 和 (b % p) 相乘是否会溢出.

 

 

Sylvia‘s Ⅳ. 同余.

定义：两个整数a,b,除以正整数m，若余数相同,则称"a和b关于模m同余",记作a≡b(mod m)，这叫作同余式.

说明：aΞb(mod m)<=>a=km+b(k取任意整数)<=>m|(a-b)

那么对于方程ax≡b (mod m),可以理解为(ax-b)为m的倍数，设这个倍数为y，则ax-b=my,m为任意整数，所以可以写成ax+my=b

该方程有整数解的充要条件是gcd(a,m)|b.

特殊情况：当b=1时，ax≡1 (mod m)的解称为a关于模m的逆，而对于此方程有解必须满足gcd(a,m)|1，那么a和m必须互质（即gcd(a,m)=1），在此种情况下，方程有唯一解.

性质：

①反身性 a≡a (mod m).

②对称性  若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m).

③传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m).

④ 加法 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d (mod m)

   特别地，若a≡b (mod m)，则a±k≡b±k (mod m).

⑤乘法  若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)

   特别地，若a≡b (mod m)，则ak≡bk (mod m)

   反复利用性质⑤，可得若a≡b (mod m)，则a^k≡b^k (mod m).

⑥除法，若ac≡bc (mod m)，则当gcd(c,m)=1时，a≡b (mod m)

                                         当gcd(c,m)=d时，a≡b (mod m/d)

  特别地，若ac≡bc (mod mc)，则a≡b (mod m).

⑦若A≡a (mod m1)，A≡a (mod m2)，且gcd(m1,m2)=1，则A≡a (mod m1*m2).

   利用此性质可以证明费马小定理.

 

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鱼丽之宴

木心

”我曾见过生命

都只是行过

无所谓完成“

 

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Sylvia

二零一七年五月六日