Chapter 1. 数学基础 数论

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Chapter 1. 数学基础 数论相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

                                  Chapter 1. 数学基础 数论(一)

 

 

Sylvia‘s I. 欧几里得算法.

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数(gcd). 

内容:gcd(a,b) = gcd(b,a%b).

证明:设a=kb+r , 则r=a%b;

        ①设d为a,b的公约数,则有d|a , d|b;

           且r=a-kb,故d|r;

           所以d也是b , a%b的公约数。

        ② 设d 是b,a mod b的公约数,则 d|b , d|r ,
            因a = kb +r; 
            所以d也是a , b的公约数

        故a , b和b , a mod b的公约数是相同的,因此最大公约数也必然相同。

性质:

①gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

②gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m 

③gcd(ma,mb)=m*gcd(a,b) 

代码:

int gcd(int a,int b){
   if (!b) return a;
   return (b,a%b);
}

 

 

 Sylvia‘s Ⅱ.扩展欧几里德.

 内容:给出 a 和 b,解方程 ax+by=gcd(a,b)

 思想:

         ①求其中一解x,y

 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

 ax+by=gcd(a,b) 

 bx‘+(a%b)y‘=gcd(b,a%b)

 ax+by=bx′+(a%b)y′  (a%b<=>a-[a/b]*b) 

 ax+by=bx′+(a??a/b??b)y′

 ax+by=ay′+b(x′??a/b??y′) 

故x=y′, y=x′??a/b??y′

边界条件为 gcd(a,0)=a;

   ②对于其通解,设已求得的一组解为(x0,y0),其他解(x,y)

       有ax0+by0=ax+by     (都等于gcd(a,b))

变形得a(x0-x)=b(y-y0) 两边同除gcd(a,b)

设a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b)

则 a‘(x0-x)=b‘(y-y0)  此时a‘和b‘必然互质,因此(x0-x)是b‘的倍数,设(x0-x)=kb‘ 代入得 y=y0+a‘k

同理,(y-y0)是a‘的倍数,设(y-y0)=ka‘ 代入得 x=x0-b‘k

所以对于方程ax+by=gcd(a,b)的任意整数解可以写成  

x=x0-k*b/gcd(a,b)

y=y0+k*a/gcd(a,b)  k取任意整数.

注:①推导过程并未用到“ax+by的右边是什么”

     ②如果gcd(a,b)=0,则意味着a或b等于0,可以特判

代码:

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    } 
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

 

 

Sylvia‘s Ⅲ. 模运算.

公式:①(a+b) % p=((a % p) + (b % p)) % p

        ②(a-b) % p = ((a % p) - (b % p)+p) % p 

  ③(a*b) % p = (a % p) * (b % p) % p 

注意:对于公式②,由于(a % p)可能小于(b % p),所以需要在结果上加上p.

        对于公式③,需要注意(a % p) 和 (b % p) 相乘是否会溢出.

 

 

Sylvia‘s Ⅳ. 同余.

定义:两个整数a,b,除以正整数m,若余数相同,则称"a和b关于模m同余",记作a≡b(mod m),这叫作同余式.

说明:aΞb(mod m)<=>a=km+b(k取任意整数)<=>m|(a-b)

那么对于方程ax≡b (mod m),可以理解为(ax-b)为m的倍数,设这个倍数为y,则ax-b=my,m为任意整数,所以可以写成ax+my=b

该方程有整数解的充要条件是gcd(a,m)|b.

特殊情况:当b=1时,ax≡1 (mod m)的解称为a关于模m的逆,而对于此方程有解必须满足gcd(a,m)|1,那么a和m必须互质(即gcd(a,m)=1),在此种情况下,方程有唯一解.

性质:

①反身性 a≡a (mod m).

②对称性  若a≡b(mod m),则b≡a (mod m).

③传递性 若a≡b (mod m),b≡c (mod m),则a≡c (mod m).

④ 加法 若a≡b (mod m),c≡d(mod m),则a±c≡b±d (mod m)

   特别地,若a≡b (mod m),则a±k≡b±k (mod m).

⑤乘法  若a≡b (mod m),c≡d(mod m),则ac≡bd (mod m)
   特别地,若a≡b (mod m),则ak≡bk (mod m)
   反复利用性质⑤,可得若a≡b (mod m),则ak≡bk (mod m).
⑥除法,若ac≡bc (mod m),则当gcd(c,m)=1时,a≡b (mod m)
                                         当gcd(c,m)=d时,a≡b (mod m/d)
  特别地,若ac≡bc (mod mc),则a≡b (mod m).
⑦若A≡a (mod m1),A≡a (mod m2),且gcd(m1,m2)=1,则A≡a (mod m1*m2).
   利用此性质可以证明费马小定理.

 


 

鱼丽之宴

木心

”我曾见过生命

都只是行过

无所谓完成“

 


 

Sylvia

二零一七年五月六日

 

 

 

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