洛谷P3398 仓鼠找sugar

Posted 2020-09-16 小时のblog

题目描述

小仓鼠的和他的基（mei）友（zi）sugar住在地下洞穴中，每个节点的编号为1~n。地下洞穴是一个树形结构。这一天小仓鼠打算从从他的卧室（a）到餐厅（b），而他的基友同时要从他的卧室（c）到图书馆（d）。他们都会走最短路径。现在小仓鼠希望知道，有没有可能在某个地方，可以碰到他的基友？

小仓鼠那么弱，还要天天被zzq大爷虐，请你快来救救他吧！

输入输出格式

输入格式：

 

第一行两个正整数n和q，表示这棵树节点的个数和询问的个数。

接下来n-1行，每行两个正整数u和v，表示节点u到节点v之间有一条边。

接下来q行，每行四个正整数a、b、c和d，表示节点编号，也就是一次询问，其意义如上。

 

输出格式：

 

对于每个询问，如果有公共点，输出大写字母“Y”；否则输出“N”。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
2 5
4 2
1 3
1 4
5 1 5 1
2 2 1 4
4 1 3 4
3 1 1 5
3 5 1 4

输出样例#1：

Y
N
Y
Y
Y

说明

本题时限1s，内存限制128M，因新评测机速度较为接近NOIP评测机速度，请注意常数问题带来的影响。

20%的数据 n<=200,q<=200

40%的数据 n<=2000,q<=2000

70%的数据 n<=50000,q<=50000

100%的数据 n<=100000,q<=100000

【思路】

放一个倍增法求lca的板子，然后求四边lca。

题目是一个点从A出发到B 一个从C出发到D
  那么从A到B可以分解成 先从A到X 再从X到B。。。 C同理
  假设能相遇 那么
  要么在A到X的过程A,B相遇 要么在X到B的过程A,B相遇
  对于在A到X的过程相遇的情况 又可以分解为：
  情况1：
  在A到X的过程和 C到Y的过程 中A,B相遇 
  情况2：
  在A到X的过程和 Y到D的过程 中A,B相遇 
  另一种情况同理。。。

以上是粘的洛谷上的 昨天在徐老大的帮助下成功理解为什么（就是下面代码的方法）
在X Y中取一个最大，再在lca(a,c).lca(a,d),lca(b,c),lca(b,d)这四个当中取一个最大，如果后者的深度大于等于前者，那么可以相遇，否则不能；
我们从头来说一下吧；
相遇的情况  a->X,c->y 相遇（可以认为 松鼠和他基友都在网上冲）
          a->X,y->d 相遇（一个往上冲，一个在往下冲）
          X->b，c->Y 相遇（一个往下冲 一个往上冲）
          X->b,Y->d 相遇（都往下冲）
根据树中的每一个节点的父亲都是唯一的，lca可以认为是他们最短路径上深度最浅的那个点，a,b,c,d到他们lca的路径是唯一的。
而上述的4个lca中深度最大的那一个 我们姑且记为S，那么S一定是a,b中的一个（有a无b，有b无a，我们假设是①）和c,d的一个（有c无d 有d无c，我们假设是②）的lca（仔细理解哦）
那么如果s的深度大于x,y中较大的的那一个，说明①在和②在往上冲的过程中一定要经过他们的lca，也就是S，再经过x或者是y。因为①和②是 a,b中的一个和c,d中的一个，他们还要冲向x或者是y呢。这种情况必然相遇；

还有徐老大给我讲的她看的题解。
（1）第一种特别明显的不会有路径相交的情况是，最深的那个lca比浅的lca的那两个点还深，就一定不会用路径交集。
（2）有路径交集的情况在浅的lca的路径一定覆盖深的lca的路径，那么深的lca这个点的一定在浅的Lca的子树里，那么
假如浅的Lca和深的lca的那两个点的lca是浅的的这个点本身，那么路径一定有交集。。。。。。

【题解】

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<vector>
 4 using namespace std;
 5 #define N 100009
 6 vector<int>vec[N];
 7 int n,q,u,v,a,b,c,d;
 8 int dad[N][22],depth[N];
 9 int read()
10 {
11     int x=0,f=1;
12     char ch=getchar();
13     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
14     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}//是&&
15     return f*x;
16 }
17 void dfs(int x)
18 {
19     depth[x]=depth[dad[x][0]]+1;    
20     for(int i=0;dad[x][i];i++)//先进行这一步
21     {
22         dad[x][i+1]=dad[dad[x][i]][i];
23     }
24     for(int i=0;i<vec[x].size();i++)
25     {
26         if(!depth[vec[x][i]])
27         {
28          dad[vec[x][i]][0]=x;
29          dfs(vec[x][i]);    
30         }
31     }
32 }
33 int lca(int x,int y)
34 {
35     if(depth[x]>depth[y])
36     swap(x,y);
37     for(int i=20;i>=0;i--)
38     {
39         if(depth[dad[y][i]]>=depth[x])//到相同的深度
40         {
41             y=dad[y][i];
42         }
43     }
44     if(x==y)return x;
45     for(int i=20;i>=0;i--)
46     {
47         if(depth[dad[x][i]]!=depth[dad[y][i]])
48         x=dad[x][i],y=dad[y][i];
49     }
50     return dad[x][0];
51 }
52 int main()
53 {
54     n=read();q=read();
55     for(int i=1;i<=n-1;i++)
56     {
57         u=read();v=read();
58         vec[u].push_back(v);
59         vec[v].push_back(u);
60     }
61     dfs(1);
62     for(int i=1;i<=q;i++)
63     {
64         a=read();b=read();c=read();d=read();
65         int tep=max(depth[lca(a,b)],depth[lca(c,d)]);
66         int res=max(max(depth[lca(a,c)],depth[lca(a,d)]),
67                 max(depth[lca(b,c)],depth[lca(b,d)]));
68         if(res>=tep)
69         printf("Y\n");
70         else
71     printf("N\n");
72     }
73     return 0;
74 }