求解暗黑字符串（网易2017秋招）

Posted 2020-09-16 赵弘添

问题描述：一个只包含‘A‘、‘B‘和‘C‘的字符串，如果存在某一段长度为3的连续子串中恰好‘A‘、‘B‘和‘C‘各有一个，那么这个字符串就是纯净的，否则这个字符串就是暗黑的。

例如：
BAACAACCBAAA 连续子串"CBA"中包含了‘A‘,‘B‘,‘C‘各一个，所以是纯净的字符串
AABBCCAABB 不存在一个长度为3的连续子串包含‘A‘,‘B‘,‘C‘,所以是暗黑的字符串

你的任务就是计算出长度为n的字符串(只包含‘A‘、‘B‘和‘C‘)，有多少个是暗黑的字符串 (1 ≤ n ≤ 30)。

首先如果题目是如何判断一个字符串是暗黑（纯净）字符串，你会怎么解？

这个问题很简单，直接遍历判断连续的三个字符是否分别为ABC。额，而我想说的是有一个比较好的想法是

令A=2，B=3，C=5，如果某三个字母乘积为30，即这个字符串为纯净的字符串。尽管操作起来比直接判断连续3个字符串是否为ABC便利不了多少，但是我觉得这是一个比较好的想法。

 

讲回正题，现在是计算出长度为n的字符串，有多少个暗黑的字符串。

下面提供2种思路

思路1

当n=1时，3种情况，暗黑，

当n=2时，9种情况，暗黑。

当n=3时，第一个位置3种情况，第二个位置3种情况，而第三个位置则要考虑前2个位置，

如果前2个位置相同则第三个位置有三种选择，否则有2种选择。

所有有 3*(3*1+2*2)=21是暗黑的。

当n=4时，按照n=3的情况继续类推下去，假若第二个位置和第三个位置相同，第四个位置有3种选择，否则有2种选择。

所以有3*(3*(1+2)+2*(1*2+2))) = 51（如果看不明白可留言再解答）

如此类推可得出下列规律

当n>3，sum(n) = 3*(3*num3(n) + 2*num2(n))

num2(n) = 2*num3(n-1) + num2(n-1)

num3(n) = num3(n-1) + num2(n-1)

观察上面第一个式子3*(3*1+2*2)=21 ,num2(1)=2  num3(1)=1

这个思路主要是从式子里推出来的，也是比较常规的一个方法。

def dark1():
    dark = [3,9]
    num2 = 2 
    num3 = 1
    for i in range(28):
        dark.append(3*(3*num3+2*num2))
        num3,num2 = num2+num3,2*num3+num2
    print(dark)

运行结果：

[3, 9, 21, 51, 123, 297, 717, 1731, 4179, 10089, 24357, 58803, 141963, 342729, 827421, 1997571, 4822563,

11642697, 28107957, 67858611, 163825179, 395508969, 954843117, 2305195203, 5565233523, 13435662249,

32436558021, 78308778291, 189054114603, 456417007497]

 

思路2

正如上面的思路1，我们可以分析出，每增加一个位置的字符，要使其保持暗黑的性质，只需要考虑前2个字符。

当前2个字符相同，那么第n个位置的取法有3种，否则有2种。

不妨设前2个字符相同的情况为s(n),前2个字符不同为d(n),那么我们可得出

sum(n) = 3*s(n-1) + 2*d(n-1) = 2*(s(n-1)+d(n-1)) + s(n-1) = 2*sum(n-1) + s(n-1)

因为前个字符要不就是d(n)要不就是s(n)，所以d(n)+s(n)就等于sum(n)，剩下的问题就是求解s(n-1)。

我们知道，对于s(n-1) AA 第三个字母只能跟之前一样AAA才能得到s(n)，对于d(n-1) AB 第三个字符只有跟最后一个一样ABB才能得到s(n)

所以得出结论 s(n) = s(n-1) + d(n-1) = sum(n-1), s(n-1) = sum(n-2)

sum(n) = 2*sum(n-1) + s(n-1) = 2*sum(n-1) + sum(n-2)

def dark2():
    dark = [3,9]
    for i in range(28):
        dark.append(dark[-2]+2*dark[-1])
    print(dark)

运行结果：

[3, 9, 21, 51, 123, 297, 717, 1731, 4179, 10089, 24357, 58803, 141963, 342729, 827421, 1997571, 4822563,

11642697, 28107957, 67858611, 163825179, 395508969, 954843117, 2305195203, 5565233523, 13435662249,

32436558021, 78308778291, 189054114603, 456417007497]