BZOJ 3028: 食物 [生成函数 隔板法 | 广义二项式定理]

Posted 2020-09-16 Candy?

3028: 食物

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Description

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！

我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带N件物品的方案数。

他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等

当然，他又有一些稀奇古怪的限制：

每种食物的限制如下：

       承德汉堡：偶数个

       可乐：0个或1个

            鸡腿：0个，1个或2个

            蜜桃多：奇数个

            鸡块：4的倍数个

            包子：0个，1个，2个或3个

       土豆片炒肉：不超过一个。

            面包：3的倍数个

 

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是N就算一种方案。因此，对于给出的N,你需要计算出方案数，并对10007取模。

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生成函数系数方案数，次数选择个数（不要漏掉不选 x⁰=1）

每个的生成函数乘起来得到x/(1-x)⁴

然后广义二项式定理(并不知道该怎么用)....变形x*(1+x+x²+x³+...)⁴ ，n次项系数就是把n个数分成4组每组可以为空，用隔板法，板子和数一起选两个为板子

C(n+3,3)

乘x考虑系数变化，就是n--

[update:2017-05-03]

今天重新想了一下怎么用广义二项式定理做

最后是求$\frac{x}{(1-x)^4}$的n次项系数，就是$(1-x)^{-4}$的n-1次项系数

用广义二项式定理展开，系数就是$\binom{-4}{n}(-x)^n$

n次项系数为 $ \binom{-4}{n} = \frac{ (n+1)(n+2)(n+3) }{3!} $

 

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=505,MOD=10007;
int n,a;
char s[N];
int main(){
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) a=(a*10+s[i]-‘0‘)%MOD;
    printf("%d",a*(a+1)%MOD*(a+2)%MOD*1668%MOD);
}