51nod 1258 序列求和 V4

Posted 2020-09-15 ws_ccd

跪烂（貌似我记得，是我要学习多项式的一些东西，然后发现可以搞伯努利数，然后就奇怪的入坑了）

这个题显然是不可以n^2来预处理伯努利数的

那怎么办呢。。。。。。。。找题解啊。。。

这里有伯努利数的生成函数，（不知道怎么推的），然后搞一搞就成了一个多项式求逆的样子。

而且这个题还有一个BT的就是，1e9+7是不能写成1+2^k*n的形式的，所以就没有办法直接NTT，这里还要用到一个三模数NTT，就是取出3个满足1+2^k*n形式的大质数(先假设为a,b,c吧)，满足a*b*c>n*P*P（P在这里就是1e9+7）（虽然不知道为什么）

然后三模数NTT最后当然是要用CRT来合并的，这里直接CRT合并的话long long就炸掉了，所以用一点小技巧http://blog.csdn.net/u014609452/article/details/68058602

大概就好了吧。呵呵。。

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #define LL long long
  3 using namespace std;
  4 
  5 const int mod=1e9+7;
  6 const int M[]={998244353,1004535809,469762049};
  7 const int G[]={3,3,3};
  8 const LL _M=(LL)M[0]*M[1];
  9 
 10 LL ksm(LL a, int b, int p)
 11 {
 12     LL sum=1; a%=p;
 13     for (;b;b>>=1,a=a*a%p)
 14         if (b&1) sum=sum*a%p;
 15     return sum;
 16 }
 17 LL mul(LL a, LL b, LL p)
 18 {
 19     a%=p; b%=p;
 20     return ((a*b-(LL)((LL)((long double)a/p*b+1e-3)*p))%p+p)%p;
 21 }
 22 
 23 const int m1=M[0],m2=M[1],m3=M[2];
 24 const int inv1=ksm(m1%m2,m2-2,m2),inv2=ksm(m2%m1,m1-2,m1),inv12=ksm(_M%m3,m3-2,m3);
 25 int CRT(int a1, int a2, int a3)
 26 {
 27     LL A=(mul((LL)a1*m2%_M,inv2,_M)+mul((LL)a2*m1%_M,inv1,_M))%_M;
 28     LL k=((LL)a3+m3-A%m3)*inv12%m3;
 29     return (k*(_M%mod)+A)%mod;
 30 }
 31 
 32 const int N=264000;
 33 int R[N];
 34 struct NTT{
 35     int P,G;
 36     int num,w[2][N];
 37     void pre(int _P, int _G, int m)
 38     {
 39         num=m; P=_P; G=_G;
 40         int g=ksm(G,(P-1)/num,P);
 41         w[1][0]=1; for (int i=1; i<num; i++) w[1][i]=(LL)w[1][i-1]*g%P;
 42         w[0][0]=1; for (int i=1; i<num; i++) w[0][i]=w[1][num-i];
 43     }
 44     void FFT(int *a, int n, int f) 
 45     {
 46         for (int i=0; i<n; i++) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
 47         for (int i=1; i<n; i<<=1)
 48             for (int j=0; j<n; j+=(i<<1))
 49                 for (int k=0; k<i; k++)
 50                 {
 51                     int x=a[j+k],y=(LL)a[j+k+i]*w[f][num/(i<<1)*k]%P;
 52                     a[j+k]=(x+y)%P; a[j+k+i]=(x-y+P)%P;
 53                 }
 54         if (!f) for (int i=0,inv=ksm(n,P-2,P); i<n; i++) a[i]=(LL)a[i]*inv%P;
 55     }
 56 }ntt[3];
 57 
 58 int tmp[N],b2[N],b3[N],_b[3][N],c[N];
 59 
 60 void get_inv(int *a, int *b, int n)
 61 {
 62     if (n==1) return void(b[0]=CRT(ksm(a[0],m1-2,m1),ksm(a[0],m2-2,m2),ksm(a[0],m3-2,m3)));
 63     get_inv(a,b,n>>1);
 64     int L=0; while (!(n>>L&1)) L++;
 65     for (int i=1; i<(n<<1); i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<L);
 66     
 67     for (int i=0; i<n; i++) b2[i]=b3[i]=b[i],tmp[i]=a[i],b2[i+n]=b3[i+n]=0;
 68     ntt[0].FFT(b,n<<1,1); ntt[1].FFT(b2,n<<1,1); ntt[2].FFT(b3,n<<1,1);
 69     
 70     for (int I=0; I<3; I++)
 71     {
 72         int *d=I==0?b:(I==1?b2:b3);
 73         for (int i=0; i<n; i++) tmp[i+n]=0,tmp[i]=a[i];
 74         ntt[I].FFT(tmp,n<<1,1);
 75         for (int i=0; i<(n<<1); i++) tmp[i]=(LL)tmp[i]*d[i]%M[I];
 76         ntt[I].FFT(tmp,n<<1,0);
 77         for (int i=0; i<(n<<1); i++) _b[I][i]=tmp[i];
 78     }
 79     
 80     for (int i=0; i<(n<<1); i++) c[i]=CRT(_b[0][i],_b[1][i],_b[2][i]),c[i]=c[i]==0?0:mod-c[i];
 81     c[0]=(c[0]+2)%mod;
 82     
 83     for (int I=0; I<3; I++)
 84     {
 85         int *d=I==0?b:(I==1?b2:b3);
 86         for (int i=0; i<n; i++) tmp[n+i]=0,tmp[i]=c[i];
 87         ntt[I].FFT(tmp,n<<1,1);
 88         for (int i=0; i<(n<<1); i++) tmp[i]=(LL)tmp[i]*d[i]%M[I];
 89         ntt[I].FFT(tmp,n<<1,0);
 90         for (int i=0; i<(n<<1); i++) _b[I][i]=tmp[i];
 91     }
 92     
 93     for (int i=0; i<n; i++) b[i]=CRT(_b[0][i],_b[1][i],_b[2][i]),b[n+i]=0;
 94 }
 95 
 96 LL fac[N],inv[N];
 97 
 98 void init(int n)
 99 {
100     fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
101     for (int i=1; i<=n; i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
102     for (int i=2; i<=n; i++) inv[i]=(LL)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
103     for (int i=2; i<=n; i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
104 }
105 LL C(int n, int m) {return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
106 
107 
108 int n,m;
109 int a[N],b[N];
110 int _a[3][N],B[N];
111 
112 int solve(int n, int m)
113 {
114     static LL pw[N];
115 /*    pw[0]=1; for (int i=1; i<=m+1; i++) pw[i]=pw[i-1]*(n%mod)%mod;
116     LL ret=((LL)m+1)*((mod+1)>>1)%mod*pw[m]%mod;
117     for (int k=0; k<=m; k+=2) ret=(ret+C(m+1,k)*B[k]%mod*pw[m+1-k]%mod)%mod;;*/
118     pw[0]=1; for (int i=1; i<=m+1; i++) pw[i]=pw[i-1]*n%mod;
119     LL ret=0;
120     for (int k=1; k<=m+1; k++) ret=(ret+(LL)B[m+1-k]*pw[k]%mod*C(m+1,k)%mod)%mod;
121     return ret%mod*ksm(m+1,mod-2,mod)%mod;
122 }
123 int main()
124 {
125     n=50000;
126     for (m=1; m<=n; m<<=1);
127     for (int i=0; i<3; i++) ntt[i].pre(M[i],G[i],m<<1);
128     init(m+1);
129     for (int i=0; i<m; i++) a[i]=inv[i+1];
130     get_inv(a,b,m);
131     for (int i=0; i<m; i++) B[i]=(LL)b[i]*fac[i]%mod;
132     int T,_K; LL _n; scanf("%d",&T);
133     while (T--)
134     {
135         scanf("%lld%d",&_n,&_K); _n++; _n%=mod;
136         printf("%d\n",solve(_n,_K));
137     }
138     return 0;
139 }