BZOJ2154Crash的数字表格

Posted 2020-09-15 cdcq（本博客废弃！现用博客：https://www.cn

算是学会反演了……（其实挺好学的一天就能学会……

原题：

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

 

反演嘛，直接推公式

（Atom和即时预览的latex插件真好用

（治好了我多年的公式恐惧症~~（模仿po姐

然后按照莫比乌斯反演经典的计算方法for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)  j=min(n/(n/i),m/(m/i));O(√n*√n)=O(n)计算就可以了

需要注意的是因为计算过程中是在模意义下计算的，所以会出现负数（但是因为计算是在模意义下进行的所以答案确实是对的），最后需要加模数再取模

（反演其实挺好学的一天就能学会（就学个反演都拖了一年我以前真是钍氧钍砷钋熵钛镎铱钨

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 #define ll long long
 8 const int mo=20101009;
 9 int rd(){int z=0,mk=1;  char ch=getchar();
10     while(ch<\'0\'||ch>\'9\'){if(ch==\'-\')mk=-1;  ch=getchar();}
11     while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\'){z=(z<<3)+(z<<1)+ch-\'0\';  ch=getchar();}
12     return z*mk;
13 }
14 void wt(int x){if(x<0)  putchar(\'-\'),x=-x;
15     int wtp=0;  char wtc[22];
16     while(x)  wtc[++wtp]=(x%10)+\'0\',x/=10;
17     while(wtp)  putchar(wtc[wtp--]);
18 }
19 int n,m;
20 int prm[11000000],prp=0,miu[11000000];  bool prg[11000000];
21 int s[11000000];
22 void gtmiu(){
23     fill(prg+1,prg+n+1,0);
24     miu[1]=1;
25     for(int i=2;i<=n;++i){
26     if(!prg[i])  prm[++prp]=i,miu[i]=-1;
27     for(int j=1;j<=prp && i*prm[j]<=n;++j){
28         prg[i*prm[j]]=true;
29         if(!(i%prm[j])){  miu[i*prm[j]]=0;  break;}
30         miu[i*prm[j]]=-miu[i];
31     }
32     }
33     for(ll i=1;i<=n;++i)
34     s[i]=(s[i-1]+(i*i*miu[i])%mo)%mo;
35 }
36 ll sm(ll x,ll y){  return (((x*(x+1)/2)%mo)*((y*(y+1)/2)%mo))%mo;}
37 ll cclt(int x,int y){
38     if(x>y)  swap(x,y);
39     ll bwl=0;
40     for(ll i=1,j;i<=x;i=j+1){
41     j=min(x/(x/i),y/(y/i));
42     bwl=(bwl+((s[j]-s[i-1])*sm(x/i,y/i))%mo)%mo;
43     }
44     return bwl;
45 }
46 int main(){//freopen("ddd.in","r",stdin);
47     cin>>n>>m;
48     if(n>m)  swap(n,m);
49     gtmiu();
50     ll ans=0;
51     for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
52     j=min(n/(n/i),m/(m/i));
53     ans=(ans+(((i+j)*(j-i+1)/2)%mo*cclt(n/i,m/i))%mo)%mo;
54     }
55     cout<<(ans+mo)%mo<<endl;
56     return 0;
57 }

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