动态规划入门 COGS1398 最长上升子序列

Posted 2020-09-15

1398. 最长上升子序列

★   输入文件：lis1.in   输出文件：lis1.out   简单对比
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【题目描述】

 

设有整数序列A[1],A[2],A[3],…,A[m]，若存在下标i1<i2<i3<…<in，且A[i1]<A[i2]<A[i3]<…<A[in]，则称 序列A[1],A[2],A[3],…,A[m]中有长度为n的上升子序列A[i1] , A[i2] ,A[i3] ,…,A[in]。

请编程计算指定序列的最长上升子序列长度。

 

【输入格式】

第一行一个正整数n(n<1001)，表示序列中整数个数；

第二行是空格隔开的n个整数组成的序列。

【输出格式】

一个正整数，表示输入文件中整数序列的最长上升子序列的长度。

【样例输入】

  7

1 7 3 5 9 4 8

【样例输出】

4

 

【样例说明】

 序列（1,7,3,5,9,4,8）最长上升序列有：（1,3,5,9），（1,3,5,8），（1,3,4,8），他们长度为4。

方程为f(i)=max{f(j)}+1(b

_j

<b

_i

且i<j)

 

这个题重在优化

首先先贴LIS代码

注意要赋到f[]数组初值（某小受就没有）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 int n;
 8 int in[10010],f[10010];
 9 int ans;
10 
11 int main(){
12     scanf("%d",&n);
13     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&in[i]),f[i]=1;
14     for(int i=2;i<=n;i++){
15         for(int j=1;j<i;j++)
16             if(in[i]>in[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
17         ans=max(ans,f[i]);
18     }
19     printf("%d",ans);
20     return 0;
21 }

 

单调栈优化

从前向后扫描序列列，维护一个单调栈

插?入一个数时，我们在h[] 中二分出一个位置i，使得h[i]<a[k+1]<=h[i + 1]，令h[i+1]=a[k + 1] 即可

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 int n;
 8 int num[10010];
 9 int top;
10 int tmp;
11 
12 void add(int t){
13     if(t>num[top]) num[++top]=t;
14     else{
15         int ll=1;
16         int rr=top;
17         int mid;
18         while(ll<=rr){
19             mid=(ll+rr)>>1;
20             if(t>num[mid]) ll=mid+1;
21             else rr=mid-1;//注意-1和+1
22         }
23         num[ll]=t;
24     }
25     return;
26 }
27 
28 int main(){
29     scanf("%d",&n);
30     num[0]=-1;
31     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&tmp),add(tmp);
32     printf("%d",top);
33     return 0;
34 } 

 

树状数组优化

数组离散化并用树状数组维护前缀最大值

 1 //实为最长上升子序列 
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 
 8 int n;
 9 int in[10010],val[10010];
10 int len;
11 int b[10010];//b[i]以数字i结尾的子序列最长可以为的值 
12 //扫描到in[k]这个位置时，b[i]中只有b[a[k]]会改变
13 //b[a[k]]=max(b[i]+1|i<a[k])  
14 int ans,temp;
15 
16 void add(int v,int pos){
17     for(int i=pos;i<=len;i+=i&(-i)) b[i]=max(v,b[i]);
18     return; 
19 }
20 
21 int ask(int pos){
22     int t=0;
23     for(int i=pos;i;i-=i&(-i)) t=max(t,b[i]);
24     return t;
25 } 
26 
27 int main(){
28     scanf("%d",&n);
29     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&in[i]),val[i]=in[i];
30     sort(val+1,val+n+1);
31     len=unique(val+1,val+n+1)-val;//去重 保证最长上升
32     memset(b,0,sizeof(b));
33     ans=1;
34     for(int i=1;i<=n;i++){
35         in[i]=lower_bound(val+1,val+len+1,in[i])-val+1;//离散化？？？高大上 
36         temp=ask(in[i]-1)+1;
37         ans=max(ans,temp);
38         add(temp,in[i]);
39     }
40     printf("%d",ans);
41 }

 

线段树优化

可以用树状数组优化，那么显然可用线段树

然而我码了2K挂掉了，以后再补