codeforces gym 100357 I (费用流）

Posted 2020-09-15 rpSebastian

题目大意

　

　　给出一个或与表达式，每个正变量和反变量最多出现一次，询问是否存在一种方案使得每个或式中有且仅有一个变量的值为1。

解题分析

　　将每个变量拆成三个点x，y，z。 y表示对应的正变量，z表示对应的反变量。

　　由S向每个点的x部连一条流量为1的边，表示该变量的某个正变量或反变量的取值为1。

　　由每个点的x部向y部和z部分别连一条流量为1的边，表示每个正变量和反变量仅有一个取值为1。

　　若某个或式中含有某个变量，则由该变量的y部或z部向或式连一条流量为1的边。表示该变量可以使该或式的结果为1。

　　由每个或式向T连一条流量为1的边，表示该或式被满足，且仅有一个变量的取值为1。

　　仅仅这么连还是不够的，因为如果某个变量的正变量和反变量同时出现，那么正变量或反变量中必定有一个值为1，对应到图上则是S向该变量的x部必须有1的流量。

　　所以可以向这条边添加上-1的费用，使得该变量的值优先被满足。

　　跑一遍最小费用最大流，如果是满流且费用的绝对值等于必须被确定值的变量的数量，则说明可以成功满足。

　　输出方案时只需遍历一下残余网络中的边，如果残余网络中没有流量则说明该变量被选择了，最后注意一下细节，确定一下对于每个变量选1还是选0。

参考程序

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 
  4 #define rep(i,x,y) for (int i=x;i<=y;i++)
  5 const int N=1000;
  6 const int INF=2000000000;
  7 
  8 int n,m,S,T,sum,minC,maxF;
  9 int lt[N*4],flag[N],dis[N*4],pd[N*4],pre[N*4],sgn[N*4];
 10 vector <int> vec[N];
 11 
 12 struct edge{
 13     int u,v,f,w,nt;
 14 }eg[N*6];
 15 
 16 void add(int u,int v,int f,int w)
 17 {
 18     //cout<<u<<" "<<v<<" "<<f<<" "<<w<<endl; 
 19     eg[++sum]=(edge){u,v,f,w,lt[u]}; lt[u]=sum;    
 20     eg[++sum]=(edge){v,u,0,-w,lt[v]}; lt[v]=sum;
 21 }
 22 
 23 bool spfa()
 24 {
 25     queue <int> Q;
 26     rep (i,S,T) dis[i]=INF,pd[i]=0,pre[i]=-1;
 27     dis[S]=0; pd[S]=1; Q.push(S);
 28     while (!Q.empty())
 29     {
 30         int u=Q.front();
 31         for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt)
 32         {
 33             int v=eg[i].v;
 34             if (eg[i].f>0)
 35             {
 36                 if (dis[u]+eg[i].w<dis[v])
 37                 {
 38                     dis[v]=dis[u]+eg[i].w;
 39                     pre[v]=i;
 40                     if (!pd[v])
 41                     {
 42                         Q.push(v);
 43                         pd[v]=1;
 44                     }
 45                 }
 46             }
 47         }
 48         pd[u]=0; Q.pop();
 49     }
 50     return dis[T]!=INF;
 51 }
 52 void minCmaxF()
 53 {
 54     int flow;
 55     while (spfa())
 56     {
 57         flow=INF;
 58         for (int i=pre[T];~i;i=pre[eg[i].u])
 59             flow=min(flow,eg[i].f);
 60         for (int i=pre[T];~i;i=pre[eg[i].u])
 61             eg[i].f-=flow,eg[i^1].f+=flow;
 62         maxF+=flow;
 63         minC+=flow*dis[T];
 64     }
 65 }
 66 
 67 int main()
 68 {
 69     freopen("sat.in","r",stdin);
 70     freopen("sat.out","w",stdout);
 71     
 72     cin.sync_with_stdio(0);
 73     sum=1; memset(lt,0,sizeof(lt));
 74     int limit=0;
 75 
 76     cin>>n>>m;
 77     S=0; T=3*n+m+1;
 78     rep(i,1,m) 
 79     {
 80         int num; cin>>num;
 81         rep(j,1,num)
 82         {
 83             int x; cin>>x;
 84             flag[abs(x)]++;
 85             if (x>0) sgn[x]=1; else sgn[x]=-1;
 86             vec[i].push_back(x);
 87         }
 88     }
 89     rep(i,1,n) if (flag[i]==2) add(S,i,1,-1),limit++; else add(S,i,1,0);
 90     rep(i,1,n) {add(i,n+2*i-1,1,0); add(i,n+2*i,1,0);}
 91     rep(i,1,m)
 92     {
 93         for (auto v:vec[i]) 
 94         {
 95             int x=v>0?n+2*abs(v)-1:n+2*abs(v);
 96             add(x,n*3+i,1,0);
 97         }
 98         add(3*n+i,T,1,0);
 99     }
100     minC=maxF=0;
101     minCmaxF();
102     vector <int> ans;
103     if (minC==-limit && maxF==m)
104     {
105         cout<<"YES"<<endl;
106         for (int i=lt[S];i;i=eg[i].nt)
107         {
108             if (eg[i].f==1) 
109             {
110                 if (sgn[eg[i].v]==1) ans.push_back(0); else ans.push_back(1);
111             }
112             else
113             {
114                 if (eg[lt[eg[i].v]].f==0) ans.push_back(0); else ans.push_back(1);
115             }
116         }
117         for (int i=ans.size()-1;i>=0;i--) cout<<ans[i]<<" ";
118         cout<<endl;
119     }
120     else cout<<"NO"<<endl;
121 }

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