并查集2——带权并查集

Posted 2020-09-15

路径压缩

前面的并查集的复杂度实际上有些极端情况会很慢。比如树的结构正好是一条链，那么最坏情况下，每次查询的复杂度达到了 O(n)。

路径压缩 的思想是，我们只关心每个结点的父结点，而并不太关心树的真正的结构。

这样我们在一次查询的时候，可以把查询路径上的所有结点的 father[i] 都赋值成为根结点。只需要在我们之前的查询函数上面很小的改动。

 

int get(int x) {
    if (father[x] == x) { // x 结点就是根结点
        return x; 
    }
    return father[x] = get(father[x]); // 返回父结点的根结点，并另当前结点父结点直接为根结点
}

 

下面图片是路径压缩前后的对比。

路径压缩在实际应用中效率很高，其一次查询复杂度平摊下来可以认为是一个常数。并且在实际应用中，我们基本都用带路径压缩的并查集。

 

带权并查集

所谓带权并查集，是指结点存有权值信息的并查集。并查集以森林的形式存在，而结点的权值，大多是记录该结点与祖先关系的信息。比如权值可以记录该结点到根结点的距离。

例题

在排队过程中，初始时，一人一列。一共有如下两种操作：

• 合并：令其中的两个队列 A,BA,B 合并，也就是将队列 AA 排在队列 BB 的后面
• 查询：询问某个人在其所在队列中排在第几位

例题解析

我们不妨设 size[] 为集合中的元素个数，dist[] 为元素到队首的距离，合并时，dist[A.root] 需要加上 size[B.root]

（每个元素到队首的距离应该是到根路径上所有点的 dist[] 求和）

size[B.root] 需要加上 size[A.root]（每个元素所在集合的元素个数只需查询该集合中根的 size[x.root]）

1) 初始化：

void init() {
    for(int i = 1; i <= n; i++)  {
        father[i] = i, dist[i] = 0, size[i] = 1;
    }
}

2) 查找：查找元素所在的集合，即根结点。

int get(int x) {
    if(father[x] == x) {
        return x;        
    }
    int y = father[x];
    father[x] = get(y);
    dist[x] += dist[y];  // x 到根结点的距离等于 x 到之前父亲结点距离加上之前父亲结点到根结点的距离
    return father[x];
}

路径压缩的时候，不需考虑 size[]，但 dist[] 需要更新成到整个集合根的距离。

3) 合并

将两个元素所在的集合合并为一个集合。

通常来说，合并之前，应先判断两个元素是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

void merge(int a, int b) {
    a = get(a);
    b = get(b);
    if(a != b) {  // 判断两个元素是否属于同一集合
        father[a] = b;
        dist[a] = size[b];
        size[b] += size[a];
    }
}

通过小小的改动，我们就可以查询并查集这一森林中，每个元素到祖先的相关信息。

看个题目

 

我们可以很容易的统计俩张卡片是否在同一个队列中，用并查集就可以了。

关键是怎么计算，在一个队列中的俩个卡片之间卡片数目，只要维护一下每个卡片到队列头的卡片数目就好了。

在计算同一队列中的俩个卡片之间卡片数目，只要把俩个卡片到队列头的卡片数目做差就可以了。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
#include<cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int father[30100];
int son[30100];
//树的深度
int sizes[30100];
//到根结点的距离
int dists[30100];
int n,m,p,k,a,b,c,x,y,ans=0;
void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        father[i]=i;
        son[i]=i;
        sizes[i]=1;
        dists[i]=0;
    }
}
int get(int x)
{
    if(father[x]==x)
        return x;
    int y=father[x];
    father[x]=get(y);
    dists[x]+=dists[y];
    return father[x];
}
int get_son(int x)
{
    if(son[x]==x)
        return x;
    else return son[x]=get_son(son[x]);
}
void unite(int x,int y)
{
    x=get(x);
    y=get(y);
    if(x!=y)
    {
        father[x]=y;
        dists[x]=sizes[y];
        sizes[y]+=sizes[x];
    }
}
int same(int x,int y)
{
    return get(x)==get(y);
}
int main()
{
    cin>>n;
    init(30050);
    char c;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>c>>a>>b;
        if(c==‘C‘)
        {
            if(!same(a,b)) cout<<-1<<endl;
            else cout<<abs(dists[a]-dists[b])-1<<endl;
        }
        else if(c==‘M‘)
        {
            unite(a,b);
        }
    }
    return 0;
}