数据结构-王道2017-第5章 图

Posted 2020-09-15 陈煜弘

1.图的基本概念

  1）图的定义

     图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E),其中V(G)表示图G中定点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。V={v1,v2,..,vn},用|V|表示图G中顶点的个数，也称为图G的阶，E={（u，v）| u ∈ V,v ∈ V},用|E|表示图G中边的条数。

   注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可一世空图。就是说图中不能一个顶点也没有，图的顶点集一定非空，但边集E可以为空，此时图中只有顶点没有边

   2）简单图：不存在重复边；不存在顶点到自身的边，则称图G为简单图

        多重图：图G中两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边与自己关联，则G为多重图。多重图的定义和简单图是相对的。

       完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图，含有n个顶点的无向完全图又n(n-1)/2条边，含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边

   3）连通：在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的，若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图

       无向图中的极大连通子图称为连通分量，如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，那么此图必是非连通图。

  注意：极大连通子图要求该连通子图包含其所有的边；极小连通子图是既要保持图连通，又要使得边数最少的子图。

  4）强连通图、强连通分量

     在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。若图中任何一对顶点都是强连通的，则称该图为强连通图。有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

  5）生成树、生成森林

      连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。如果图中定点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，看去他的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成回路。在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

    注意：包含无向图中全部顶点的极小连通子图，只有生成树满足条件，因为砍去生成树的任意一条边，图将不再连通。

  6）定点的度、入度出度

      每个顶点的度定义为以该顶点为一个端点的边的数目

      对于无向图，顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)；无向图的全部顶点的度之和等于边数的两倍，这是因为每条边和两个顶点相关联。

      对于有向图，顶点v的度分为入度和出度，入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v),出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)，顶点v的度等于出度和入度之和TD(v) = ID(v) +OD(v);

     有向图的出度和入度之和相等并且等于边数。

   7）边的权和网

     在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的值，该数值称为该边的权值。这种边上带权值的图称为带权图，也称为网。