巴什博弈

Posted 2020-09-15 给大佬递女装

们从一道小学奥数题讲起。

甲乙轮流报数至多报 7 个数，至少报 1 个数，从 1 开始，谁先报到 50 谁就胜利。甲先报，有无必胜策略？

甲有必胜策略，先报 2 个数；接下来乙报 x 个数，甲都会报 (8-x)(8−x) 个数。因为8∣48，故一定是甲先报到 50。

同理，在巴什博奕中，当物品的总量 n=(m+1)r+s（r 为任意自然数，s≤m≤m) 时，先取的人先拿走 s个物品，当后取的人拿走 k 个时，只要先取的人再拿走(m+1−k) 个物品，使得剩下的物品总量为(m+1)(r−1)，并且在之后一直维持这个取法，使得给对手剩下的物品数量是 (m+1)的倍数，就一定能获得胜利。当然，如果物品的总数 n=m+1，那无论先拿的人先取走多少个，后拿的人都一定能拿走剩余的全部物品取得胜利。

综上，只有 n=0(mod(m+1))，即 n 被 (m+1) 整除时，后手必胜；否则，先手第一步取 n \% (m+1)，接下来每一步随机应变，就可以取得胜利。