两道很好的dp题目4.29考试
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了两道很好的dp题目4.29考试相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
A
问题描述:
对于一个排列,考虑相邻的两个元素,如果后面一个比前面一个大,表示这个位置是上升的,用I表示,反之这个位置是下降的,用D表示。如排列3,1,2,7,4,6,5可以表示为DIIDID。
现在给出一个长度为n-1的排列表示,问有多少种1到n的排列满足这种表示。
输入:
一个字符串S,S由I,D,?组成.?表示这个位置既可以为I,又可以为D。
输出:
有多少种排列满足上述字符串。输出排列数模1000000007
样例输入:
?D
样例输出:
3
数据范围:
20%的数据 S长度<=10
100%的数据 S长度<=1000
分析:怎么做?先想一想,i+1个数的方法数可以用i个数的方法数推出来,自然就想到了dp。一看数据范围,1000,只可以开二维,多半是二维dp。
dp[i][j] i表示共有i个数,j表示当前序列的最后一位为j。可以发现一个东西:前面i个数范围都在1~i且1~i中的每个数都只出现了1次。得出下列结论:
1.‘D‘ 呈下降趋势,当前这位填j,前面那位可以填j+1~i-1(i表示序列长度,已经+1),但这样的话,前面又有一个j,和当前这位j矛盾。我们可以视作前面所有>=j的数全部+1,来避免这种矛盾,所以当前位为j的前一位实际可以填j~i-1。(这一句重点)
2.‘I‘ 呈上升趋势,当前这位填j,前一位填1~j-1的数。为什么不能填j?因为当前位填j后实际上整个序列是少一个为i(i表示序列长度,已经+1)的数的,我们只能把每个>=j的数视作+1来避免这种bug。如果当前位填j,前一位填j,前面那位会被视作+1,矛盾。
3.‘?‘ D和I的情况加起来,耶。
解决。
CODE:
1 #include<cstdio> 2 int f[1005][1005],mod=1000000007; 3 int main() 4 { 5 freopen("B.in","r",stdin); 6 freopen("B.out","w",stdout); 7 char c;int i=1,ans=0; 8 c=getchar();f[1][1]=1; 9 while(c==‘D‘||c==‘I‘||c==‘?‘) 10 { 11 i++; 12 for(int j=1;j<i;j++) 13 f[i-1][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%mod; 14 if(c==‘I‘){ 15 for(int j=2;j<=i;j++) 16 f[i][j]=f[i-1][j-1]; 17 } 18 if(c==‘D‘){ 19 for(int j=1;j<i;j++) 20 f[i][j]=(f[i-1][i-1]-f[i-1][j-1]+mod)%mod; 21 } 22 if(c==‘?‘){ 23 for(int j=1;j<i;j++) 24 f[i][j]=(f[i-1][i-1]-f[i-1][j-1]+mod)%mod; 25 for(int j=2;j<=i;j++) 26 f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i][j])%mod; 27 } 28 c=getchar(); 29 } 30 for(int j=1;j<=i;j++) 31 ans=(ans+f[i][j])%mod; 32 printf("%d",ans);return 0; 33 }
B
问题描述:
小A非常喜欢字符串,所以小K送给了小A两个字符串作为礼物。两个字符串分别为X,Y。小A非常开心,但在开心之余她还想考考小K。小A定义L为X与Y的最长公共子序列的长度(子序列在字符串内不一定连续,一个长度为L的字符串有2^L个子序列,包括空子序列)。现在小A取出了X的所有长度为L的子序列,并要求小K回答在这些子序列中,有多少个是Y的子序列。因为答案可能很大,所以小K只需要回答最终答案模10^9 + 7。
输入:
第一行包含一个非空字符串X。
第二行包含一个非空字符串Y。
字符串由小写英文字母构成。
输出:
对于每组测试数据输出一个整数,表示对应的答案。
样例输入:
aa
ab
样例输出:
2
数据范围:
对于20%的数据,1 <= |X|,|Y| <= 10
对于100%的数据,1 <= |X|,|Y| <= 1000
分析:一道很有趣的题,我没看出是dp
题目必须读懂,虽说是求a中所有长度为L的序列在b中出现的个数,其实就是求最大长度的lcs有多少种方法。。。cnm坑比题。知道这一点之后,dp方程也就不难想了。
由于范围是1000,所以只能开二维。dp[i][j]定义a中的前i个字符和b中的前j个字符构成的长度为 lcs(i,j)的公共子序列有多少种。
肯定先求lcs,每个位置的lcs都要求。然后dp怎么转移呢?由于是在a中取序列,只考虑a中的某位置的字符取还是不取。
1.如果不取当前这第i位的字符,且lcs[i][j]=lcs[i-1][j],说明啥?说明了a中i位置这个字符对答案并无贡献,所以只用继承就可以。dp[i][j]+=dp[i-1][j]
2.取第i位字符。如果取了这个字符后,会有一个新的lcs长度刚好达到lcs[i][j],那么这个位置的方法数也是可以加过来的。那么我们怎么表示新lcs的结尾在b中对应的是哪个字符(设为x,其最后位置为p)?预处理一下每个字符在b中出现的最后位置。为什么非要p,万一前面的x也可以构成新lcs呢?贪心,后面方法数的肯定比前面的方法数多,取p方法数一定最优。dp[i][j]+=dp[i-1][p-1]
PS:为什么这样做得到的一定是长度为lcs(a,b)的公共子序列,很有意思,lcs(a,b)中存的一定是最长lcs的长度,如果,只有长度满足才会递推过去,啊哈哈哈,啊哈哈哈。
完美解决,耶!
CODE:
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #define ll long long 7 #define inf 2147483647 8 #define N 1005 9 #define mod 1000000007 10 using namespace std; 11 int lcs[N][N],dp[N][N],ls[N][27]; 12 char a[N],b[N]; 13 void lalala(){ 14 int la=strlen(a+1),lb=strlen(b+1); 15 for(int i=1;i<=la;i++) 16 for(int j=1;j<=lb;j++){ 17 if(a[i]==b[j])lcs[i][j]=lcs[i-1][j-1]+1; 18 else lcs[i][j]=max(lcs[i][j-1],lcs[i-1][j]); 19 } 20 } 21 22 void nanana(){ 23 int lb=strlen(b+1); 24 for(int i=1;i<=lb;i++){ 25 memcpy(ls[i],ls[i-1],sizeof(ls[i-1])); 26 ls[i][b[i]-‘a‘+1]=i; 27 } 28 } 29 30 int aaa(){ 31 int la=strlen(a+1),lb=strlen(b+1); 32 for(int i=0;i<=la;i++)dp[i][0]=1; 33 for(int j=0;j<=lb;j++)dp[0][j]=1; 34 for(int i=1;i<=la;i++) 35 for(int j=1;j<=lb;j++){ 36 if(lcs[i-1][j]==lcs[i][j]){ 37 dp[i][j]+=dp[i-1][j]; 38 dp[i][j]%=mod; 39 } 40 int p=ls[j][a[i]-‘a‘+1]; 41 if(lcs[i][j]==lcs[i-1][p-1]+1&&p){ 42 dp[i][j]+=dp[i-1][p-1]; 43 dp[i][j]%=mod; 44 } 45 } 46 return dp[la][lb]; 47 } 48 49 int main(){ 50 freopen("C.in","r",stdin); 51 freopen("C.out","w",stdout); 52 scanf("%s",a+1); 53 scanf("%s",b+1); 54 lalala(); 55 nanana(); 56 printf("%d",aaa()); 57 return 0; 58 }
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