向量组的秩

Posted 2020-09-15 不至不休

1. 向量族：可能无限多个
2. 向量组：有限的向量的集合
3. 向量族中的向量组------引出极大线性无关向量组（自身无关+其他线性组合）-----将无限个向量组的研究转换为有限个向量组的线性无关向量组的研究

 

 

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引理：包含非零向量的向量组一定存在极大线性无关向量组

 

极大线性无关向量组不唯一，但是极大线性无关向量组的个数是唯一的

1：两组向量之间的线性关系

2：若多的向量组能用少的向量组线性表示，则少的向量组一定线性无关-----表示与被表示的向量组之间的维数一定是相等的；

引理：若两个线性无关的向量之间可以相互表示，则两组向量的极大线性无关向量组的个数是一样的；

若一个向量组存在极大线性无关向量组，则其所有的极大线性无关向量组的个数都是相等的；

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 向量组中极大线性无关组的个数定义为向量组的秩

 且秩的定义不依赖极大无关线性组的选取

向量组之间的等价关系----等价的向量组一定具有相同的秩

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线性空间---------向量组

基（维数）-----极大线性无关组（秩）

有限维向量空间与无限维线性空间

高代----有限维线性空间

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n维向量空间中基的判定（已知向量的维数）-----不同与向量组的极大线性无关向量组的判定

（1）向量组线性无关；

?二者是等价的（2） 任意一个向量可以用该向量组性表示；

n维向量空间中超过n个向量组一定是线性无关；

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命题：基扩张定理

任意一组线性无关小于维数的向量组一定可以扩张为向量组的一组基；

子空间的一组基可以扩张为全空间的一组基。